PDF-версии: 1. Тип 13 № 641605 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов, Формулы двойного угла, Формулы приведения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применим формулы приведения, формулу косинуса суммы, формулу косинуса двойного угла:
б) Отберем корни при помощи двойного неравенства:
Найденным значениям k соответствуют корни 
0, 
Ответ: а) 
б) 0,
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б) 0,
б) 0, 641605
а) б) 0,
б) 0, 
Обозначим SO = 3x, тогда OH = 4x и 
Заметим, что
Пусть меньшая диагональ ромба A1A3 = 4x, тогда большая A2A4 = 6x. Находим:
где β — величина линейного угла двугранного угла при стороне основания. В данной задаче 
Тогда имеем:
получим квадратное неравенство, решим его:
так как иначе сумма долга станет отрицательной. Следовательно, n = 9.
Через точку P проведена прямая, перпендикулярная стороне AD и пересекающая прямые CD и BC соответственно в точках 
следовательно, 
и 
Значит, треугольник DPK равнобедренный. Находим:
Следовательно, 
а потому треугольник QCK равнобедренный. Следовательно, 
откуда 
Площадь треугольника QCK равна 
система не имеет решений, а при 
полученная система равносильна системе:
тогда второе уравнение примет вид:
получаем 
что удовлетворяет условию задачи, а при 
получаем 
что не удовлетворяет условию задачи. Таким образом, значение 
то второе уравнение примет вид:
Заметим, что при любом 
положительно. Значит, 
удовлетворяет условию задачи. Отсюда получаем, что в этом случае 
для которых во второй строке написано чётное количество чисел?
квадраты простых чисел будут нечетны, а два нечетных числа не могут идти подряд.
число. Значит, a и b должны иметь разную четность.
Кроме того, квадраты не могут отличаться на 1, поскольку даже между соседними квадратами разность минимум 
Поэтому все эти пары действительно подходят.