Ре­ше­ние. а)  Дробь равна нулю, если ее чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель при этом су­ще­ству­ет. Ис­поль­зуя ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, по­лу­ча­ем:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку, с по­мо­щью двой­но­го не­ра­вен­ства:

Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­стро­им осе­вое се­че­ние ко­ну­са, до­стро­им по­лу­окруж­ность до окруж­но­сти и вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 4t, тогда вы­со­та ко­ну­са равна 7t. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке  ABO най­дем Далее вос­поль­зу­ем­ся свой­ством се­ку­щих: от­ку­да

Тогда

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пло­щадь сфе­ри­че­ско­го сег­мен­та вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где r  — ра­ди­ус сферы, h  — вы­со­та сфе­ри­че­ско­го сег­мен­та. Чтобы найти вы­со­ту, про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр  KL из точки  K на от­ре­зок  AO. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABO и AKL по­доб­ны по остро­му углу. Из пунк­та  а) сразу сле­ду­ет, что ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков равен 33/⁠65. Тогда:

По усло­вию r  =  13, от­ку­да по­лу­ча­ем:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к ос­но­ва­нию  4:

Пусть тогда

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом ком­би­на­те x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 500 – x че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей  B. Пусть на вто­ром ком­би­на­те y  че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей А, где тогда 200 – y че­ло­век за­ня­ты из­го­тов­ле­ни­ем де­та­лей  B. Всего на двух ком­би­на­тах будет из­го­тов­ле­но 8x + 2y де­та­лей А и 2(500 – x) + 8(200 – y) де­та­лей  B. Для из­го­тов­ле­ния из­де­лия нужна 1  де­таль  A и 3  де­та­ли  В. Чтобы можно было со­брать наи­боль­шее ко­ли­че­ство из­де­лий, долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

от­ку­да

Ко­ли­че­ство из­де­лий S будет равно ко­ли­че­ству де­та­лей A:

Наи­боль­шее зна­че­ние убы­ва­ю­щей ли­ней­ной функ­ции до­сти­га­ет­ся при наи­мень­шем воз­мож­ном зна­че­нии y, то есть при y  =  0. При этом x  =  100, а по­то­му на пер­вом ком­би­на­те будет из­го­тов­ле­но 800 де­та­лей А и 400 · 2  =  800 де­та­лей  В, а на вто­ром ком­би­на­те  — толь­ко 1600 де­та­лей  В.

Ответ: 800.

Ре­ше­ние. а)  Точка  C лежит на бис­сек­три­се угла LKM, а по­то­му рав­но­уда­ле­на от пря­мых KM и KL. Кроме того, она рав­но­уда­ле­на от пря­мых KL и LM. Зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от пря­мых KM и LM, то есть MC  — бис­сек­три­са угла  LMN. По усло­вию по­это­му

Зна­чит, MP  — бис­сек­три­са угла LMK. Тогда точка P рав­но­уда­ле­на от пря­мых NM, ML и LN. Таким об­ра­зом, углы PLM, MLC и CLD равны. В сумме эти три угла дают раз­вер­ну­тый угол, по­это­му Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

За­ме­тим, что тогда и Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник KLN рав­но­бед­рен­ный, а от­ре­зок LM  — его вы­со­та и бис­сек­три­са. По до­ка­зан­но­му ранее от­ре­зок MC  — бис­сек­три­са тре­уголь­ни­ка LMN, по­это­му

От­сю­да

Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка CML равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. При спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

При­ме­няя в левой части вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы фор­му­лу си­ну­са трой­но­го угла, по­лу­ча­ем:

Не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство, лишь если или то есть при

Вы­де­ляя в пер­вом урав­не­нии ис­ход­ной си­сте­мы пол­ные квад­ра­ты, по­лу­ча­ем:

Для най­ден­ных зна­че­ний па­ра­мет­ра по­это­му оба урав­не­ния си­сте­мы вы­пол­ня­ют­ся, на­при­мер, при

Ответ: 0, π, 2π.

При­ме­ча­ние.

Это за­да­ние впер­вые было пред­ло­же­но для по­сту­па­ю­щих на ме­ха­ни­ко-ма­те­ма­ти­че­ский фа­куль­тет МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в 1995 году.

Ре­ше­ние. а)  Пусть зна­ме­на­тель этой про­грес­сии равен q, тогда и По усло­вию сле­до­ва­тель­но, от­ку­да q  =  3 или q  =  4.

В пер­вом слу­чае про­грес­сия имеет фор­му­лу Тогда и по­это­му раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не пре­вос­хо­дит Оче­вид­но, что про­грес­сия 5, 15, 25, ... под­хо­дит, так как все не­чет­ные числа, крат­ные 5, в нее вхо­дят.

Во вто­ром слу­чае про­грес­сия имеет фор­му­лу Тогда и по­это­му раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии не пре­вос­хо­дит Про­грес­сия 5, 20, 35, ... под­хо­дит, так как в нее вхо­дят все числа, крат­ные 5 и да­ю­щие оста­ток 2 при де­ле­нии на 3, а все члены про­грес­сии та­ко­вы, по­сколь­ку

что крат­но трем.

б)  Зная остат­ки от де­ле­ния на 13 чисел x и y, опре­де­лим остат­ки от де­ле­ния на 13 числа 5x − 6y. По­лу­чим по­сле­до­ва­тель­ность остат­ков: 2, 5, 0, 9, 6, 2, 0, 1, 5, 6, 0, 3, 2, 5, ... . Каж­дый оста­ток в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти опре­де­ля­ет­ся преды­ду­щи­ми двумя, по­это­му по­сле­до­ва­тель­ность остат­ков будет пе­ри­о­дич­на с пе­ри­о­дом 12. Зна­чит, крат­ны 13 ее члены, сто­я­щие на ме­стах, да­ю­щих при де­ле­нии на 12 остат­ки 3, 7 и 11, то есть да­ю­щие при де­ле­нии на 4 оста­ток 3.

в)  Рас­суж­дая ана­ло­гич­но пунк­ту а), за­клю­ча­ем, что усло­вию удо­вле­тво­ря­ют гео­мет­ри­че­ские про­грес­сии со зна­ме­на­те­ля­ми, яв­ля­ю­щи­ми­ся кор­ня­ми урав­не­ния то есть q  =  2 или q  =  −1. При­чем если две по­сле­до­ва­тель­но­сти удо­вле­тво­ря­ют этому усло­вию, то и их сумма с лю­бы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми удо­вле­тво­ря­ет этому усло­вию. Под­бе­рем числа a и b так, чтобы вы­пол­ня­лось ра­вен­ство Под­став­ляя n  =  1 и n  =  2, по­лу­чим, что и от­ку­да и

Те­перь можно по ин­дук­ции до­ка­зать, что эта фор­му­ла верна при всех n. Дей­стви­тель­но, для n  =  1 и n  =  2 это оче­вид­но, а для про­чих имеем:

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: а) 5, 15, 25, ... или 5, 20, 35, ... ; б)  номер члена ко­то­рых дает оста­ток 3 при де­ле­нии на 4; в)  699 051.