а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применим формулу синуса разности:
Тогда уравнение принимает вид
Положим, 
тогда
откуда
Вернемся к исходной переменной:
б) Определим корни, лежащие на отрезке 
:
Найденным значениям параметра соответствуют корни 
Ответ: а) 
б)
Примечание 1.
В школьных учебниках обычно приводится именно такой путь решения уравнений, содержащих 
и 
Можно было бы поступить несколько иначе, обозначив 
Приведем такое решение, для этого возведем обе части уравнения
в квадрат. При этом могут появиться посторонние корни, которые отбросим, сделав проверку. Имеем:
Положим, 
тогда
откуда
Подставим найденную серию в исходное уравнение, получим:
При четных значениях k в силу периодичности синуса и косинуса находим:
Итак, все четные значения параметра подходят, поэтому все члены серии 
являются решениями уравнения. При нечетных значениях k, используя периодичность и применяя формулы приведения, имеем:
Таким образом, все члены серии 
являются посторонними корнями.
Ответ: 
Следующие два решения используют ограниченность тригонометрических функций.
Приведем другое решение п. а).
Упростим правую часть уравнения:
Тогда
Полученное произведение может быть равно 1 тогда и только тогда, когда модуль каждого из сомножителей равен 1, откуда получаем:
или
Решим второе уравнение первой системы:
Подставим найденную серию в первое уравнение:
Получено верное равенство, поэтому найденная серия является решением исходного уравнения.
Решим второе уравнение второй системы:
Подставим найденную серию в первое уравнение:
Теперь получено неверное равенство, значит, эта система несовместна.
Таким образом, серия 
дает все решения уравнения.
Приведем еще одно решение уравнения, использующее ограниченность функций.
Используем формулу для преобразования произведения синусов:
Решим уравнение:
Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
На ребре DD1 отмечена точка M так, что 
Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки 
следовательно, отрезки QH и BE перпендикулярны, а значит, отрезок QH перпендикулярен плоскости α и является расстоянием от точки Q до плоскости α, то есть равен высоте пирамиды A1BEMN. 
а значит,
Пусть 
при 
значит, 
при 
значит, 
при 
значит, 
тогда наименьшее решение неравенства 
следует искать при 
Находим, что:
откуда
Далее, 
поэтому прямая FB есть биссектриса внешнего угла F треугольника QFC, а потому 
откуда находим:
поэтому 
Но вписанный угол, равный 135°, опирается на дугу в 270°, а потому точки B, F, D лежат на одной окружности с центром A, и тогда 
Таким образом,
Применяя обобщенную теорему синусов к треугольнику ABF, находим радиус описанной вокруг него окружности:
треугольники AO1P и AO2R, тогда
откуда 
следовательно, вокруг четырехугольника BPFQ можно описать окружность, тогда углы BFP и BQP равны как углы, опирающиеся на одну дугу, поэтому 
тогда 
и вокруг четырехугольника APFD можно описать окружность. Следовательно, углы AFP и ADP равны как углы, опирающиеся на одну дугу. Пусть 
тогда из прямоугольного треугольника ADP 
ни одно из решений не принадлежит отрезку [2; 8], если 
ни одно из решений не принадлежит отрезку [2; 8], если 
следующим образом: 
и 
для всех 
При каких m количество различных членов этой последовательности конечно?
было верным, все неравенства предыдущего пункта должны обратиться в равенства, то есть для любой цифры должно выполняться условие 
откуда x = 0 или x = 9. Итак, подходят все числа, запись которых состоит лишь из нулей и девяток.
то есть если число m содержит в записи k цифр, где 
то тогда
равносильно неравенству 
что верно при 
а при увеличении k на единицу правая часть растет 
сумма квадратов их цифр 
Следовательно, последовательность будет содержать конечное количество членов, не меньших тысячи (их не более m, ведь последовательность убывает) и никак не больше 999 различных значений членов последовательности, меньших тысячи. Значит, при любом m количество различных членов последовательности конечно.