PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие интервалу 
Решение. а) Дважды применим к левой части уравнения формулу синуса двойного угла:
откуда получаем:
Правая часть уравнения определена, если котангенс существует и отличен от ±1, то есть при 
где 
Упростим ее при этих условиях, используя формулу разности квадратов:
Используем свойство пропорции и раскроем скобки:
В силу формулы 
получаем:
б) Интервал 
можно получить поворотом интервала 
на угол –2π, поэтому достаточно найти решения, лежащие на интервале 
а затем уменьшить их на –2π.
Заметим, что 
а потому в силу убывания арккосинуса
Следовательно,
Интервалу принадлежат корни, на –2π меньшие, то есть числа:
и
Ответ:
а) 
б) и
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
а)
б) и
а)
б) и
Q — точка пересечения прямых KL и MN. Плоскости КPL и PMN перпендикулярны плоскости основания пирамиды.
a высота пирамиды PKLMN равна 8.
(углы KLM и LMN лежат при меньшем основании трапеции LM и являются тупыми). Каждая из плоскостей KPL и PMN содержит прямую, перпендикулярную плоскости KLM, и так как существует единственная такая прямая, проходящая через точку Q, то это прямая их пересечения — PQ. Таким образом, прямая PQ перпендикулярна плоскости KLM, следовательно, и лежащим в ней прямым KL и MN. Тем самым 
Следовательно, 
и 
то есть при 
Перенесем 
в правую часть, воспользуемся формулой суммы логарифмов и возрастанием логарифмической функции с основанием, большим 1. Получаем: 
Но 
в силу неравенства (2). Это и означает, что 
то есть неравенство (3) автоматически выполнено на множестве решений системы неравенств (1), (2) и (4). В силу сказанного получаем:
:
сумма 
положительна, а потому 
получаем, что 
тогда имеем неравенство 
откуда 
Поскольку 1,17 = 1,948 717 1 а 1,18 = 2,143 588 81, в силу возрастания левой части неравенства заключаем, что 
на монотонность. Найдем 
и рассмотрим отношение 
то есть при 
последователньость возрастает. При 
отношение равно 1, а значит, 
При 
следующие члены прогрессии меньше предыдущих — последовательность убывает. 
Можно проверить, что оно не выполнено при n = 9: 
Для n = 8 неравенство верно:
и, возможно, для меньших значений n (в действительности, для всех натуральных чисел, не превосходящих 8).
и одновременно 
Из этого следует, что 
Отрезки O3D и O1O2 взаимно перпендикулярны, поскольку проведенный в точку касания радиус перпендикулярен касательной. Тогда
Его график — две дуги окружности с центром в (0; 1) и радиусом 
откуда 
В этом случае графиком является приведенное на рисунке объединение четырех лучей, лежащих на прямых y = x и 
каждая из которых проходит через 
При a = 3 — через точку B (3; 3). При a = −2 — через точку C (−2; −2). При a = −9 — через точку D (3; −1). 
где 
где p — простое число?
для всех 
Сколько элементов в самой длинной возрастающей квазигеометрической прогрессии?
откуда 
Полученное уравнение имеет решение 
и оно действительно четно. Если x нечетно, то 
откуда 
Это уравнение не имеет целых решений.
причем числа 
и 
— 
и 
то 
и 
Этот случай возможен при a кратном p — тогда можно взять 
и 
то 
и 
Этот случай возможен при любом a — можно взять 
и 
Тогда 
поэтому из трех членов последовательность состоять не может.