Ре­ше­ние. а)  Упро­стим пра­вую часть урав­не­ния:

со­кра­щать на можно при усло­вии Далее по­лу­ча­ем:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — ос­но­ва­ние вы­со­ты, а H  — её се­ре­ди­на. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но, N  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых PQ и AC. За­ме­тим, что N  — се­ре­ди­на OA, сле­до­ва­тель­но, NH  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SOA и, таким об­ра­зом, пря­мые NH и SA па­рал­лель­ны. Пря­мая NH лежит и в плос­ко­сти α, и в плос­ко­сти SAC, по­это­му точка M лежит на пря­мой NH.

Пря­мая AC  — про­ек­ция каж­дой из пря­мых SA и SC на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, угол ASC пря­мой, то есть пря­мые SA и SC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и, зна­чит, пря­мые MN и SC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Кроме этого, пря­мые PQ и AC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые SO и PQ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая  PQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  α и пря­мой  SC. Таким об­ра­зом, пря­мая SC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти α.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что SM  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SKLM. Имеем:

За­ме­тим, что пря­мые KL, PQ и BD па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок KL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SBD. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что зна­ме­на­тель левой части по­ло­жи­те­лен при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях x. Тогда на него можно умно­жить, не меняя знака не­ра­вен­ства. Затем при­ве­дем по­доб­ные члены, при­ме­ним фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов:

Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем пер­вое не­ра­вен­ство. На об­ла­сти опре­де­ле­ния в силу мо­но­тон­но­го воз­рас­та­ния ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим  1, знак раз­но­сти ло­га­риф­мов сов­па­да­ет со зна­ком раз­но­сти их ар­гу­мен­тов то есть со зна­ком вы­ра­же­ния За­ме­ним вто­рой мно­жи­тель раз­но­стью ло­га­риф­мов:

по­лу­чен­ная раз­ность имеет тот же знак, что вы­ра­же­ние

Таком об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть паром спо­со­бен пе­ре­во­зить x джи­пов и y гру­зо­ви­ков од­но­вре­мен­но. Не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние суммы зная, что числа x и y на­ту­раль­ные, при­чем

Вы­чтем почлен­но из пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы вто­рое, по­лу­чим след­ствие си­сте­мы:

Таким об­ра­зом, x  — на­ту­раль­ное число, не пре­вос­хо­дя­щее 12.

Если то долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство или Наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние y равно 15. Но тогда гру­зо­подъ­ем­ность па­ро­ма равна

а это на 2 пре­вос­хо­дит за­дан­ную гру­зо­подъ­ем­ность.

Если то то есть При по­лу­ча­ем:

При по­лу­ча­ем:

Боль­шие зна­че­ния y не по­дой­дут, по­это­му для наи­боль­шее зна­че­ние сум­мар­ной сто­и­мо­сти есть

Оста­лось про­ве­рить слу­чай Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной, ис­поль­зуя не­ра­вен­ство по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щую оцен­ку:

что мень­ше Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее воз­мож­ная сто­и­мость пе­ре­воз­ки равна 17 100 руб.

Ответ: 17 100 руб.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что угол ABM равен Тре­уголь­ник ABM рав­но­бед­рен­ный, по­это­му углы BAM и BMA равны каж­дый. Таким об­ра­зом, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть AB  =  x. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BKM: то есть Угол  KMN равен При­ме­ним те­перь тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка DMN:

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KMN:

Най­дем синус 105°:

Ис­поль­зуя по­лу­чен­ную ве­ли­чи­ну, упро­стим вы­ра­же­ние для KN:

От­сю­да по­лу­ча­ем ответ  —

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ирины Шраго.

Пусть MC  =  AB  =  x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MCK:

За­ме­тим, что

Тогда

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KCN:

Под­ста­вив по­лу­чим KN  =  37, от­ку­да KN  =  

Ре­ше­ние. Решим за­да­чу графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. Урав­не­ние за­да­ет окруж­ность с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

На плос­ко­сти xOy мно­же­ство точек, удо­вле­тво­ря­ю­щих по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти, пред­став­ля­ют собой пару вер­ти­каль­ных углов (см. рис., вы­де­ле­но синим). Для того чтобы ис­ход­ная си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы окруж­ность од­но­вре­мен­но ка­са­лась пря­мых и Для этого не­об­хо­ди­мо, чтобы центр окруж­но­сти лежал на оси абс­цисс. По­лу­ча­ем усло­вие:

В про­тив­ном слу­чае си­сте­ма либо не будет иметь ре­ше­ний, либо будет иметь одно ре­ше­ние, либо бес­ко­неч­но много ре­ше­ний.

Про­ве­рим, яв­ля­ют­ся ли пря­мые и ка­са­тель­ны­ми к окруж­но­сти при най­ден­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра.

При центр окруж­но­сти имеет ко­ор­ди­на­ты а ра­ди­ус равен Рас­сто­я­ние от точки до пря­мых и равно сто­ро­не квад­ра­та с диа­го­на­лью 36, то есть Ра­вен­ство яв­ля­ет­ся вер­ным, зна­чит, при окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мых и (изоб­ра­же­но оран­же­вым).

При центр окруж­но­сти имеет ко­ор­ди­на­ты а ра­ди­ус равен Рас­сто­я­ние от точки до пря­мых и равно сто­ро­не квад­ра­та с диа­го­на­лью 18, то есть Ра­вен­ство яв­ля­ет­ся не­вер­ным, зна­чит, при окруж­ность не ка­са­ет­ся пря­мых и (изоб­ра­же­но крас­ным).

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния толь­ко при

Ответ: −6.

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, если то в n! вхо­дят мно­жи­те­ли 2 и 4, по­это­му крат­но 8. С дру­гой сто­ро­ны, что не крат­но 8.

б)  Имеем:

что от­ри­ца­тель­но толь­ко при

в)  Ясно, что при число n! со­дер­жит мно­жи­тель 13, по­это­му ука­зан­ное вы­ра­же­ние крат­но 13. При за­пи­шем вы­ра­же­ние как и будем по­сле­до­ва­тель­но про­ве­рять числа n, мень­шие 13.

Пусть тогда пер­вый мно­жи­тель не кра­тен 13, а вто­рой кра­тен. Дей­стви­тель­но, (знак озна­ча­ет, что у чисел оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 13):

Сле­до­ва­тель­но, раз­ность 12! и 12 при де­ле­нии на 13 дает ну­ле­вой оста­ток, то есть де­лит­ся на 13 на­це­ло.

Про­ве­рим по­сколь­ку 12! дает оста­ток 12 при де­ле­нии на 13, то дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 13, а зна­чит, число не будет крат­но 13.

Ответ: а)  3; б)  4; в)  11.

При­ме­ча­ние.

По­ка­зать, что крат­но 13 можно было, со­слав­шись на тео­ре­му Виль­со­на: число де­лит­ся на p тогда и толь­ко тогда, когда p  — про­стое. В нашем слу­чае, число крат­но 13.