Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лу раз­но­сти квад­ра­тов, суммы и раз­но­сти си­ну­сов:

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Вы­чис­лим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка B₁PK:

Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник B₁PK  — пря­мо­уголь­ный, а зна­чит, пря­мые PK и PB₁ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  За­ме­тим, что B₁P  — линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей PKB₁ и C₁B₁B. Из п. а), пря­мые PK и PB₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, в плос­ко­сти C₁B₁B из точки P вос­ста­но­вим пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой B₁P, пусть он пе­ре­се­ка­ет B₁C₁ в точке Q. Тогда KPQ  — ли­ней­ный угол од­но­го из дву­гран­ных углов, об­ра­зо­ван­ных пе­ре­се­че­ни­ем плос­ко­стей PKB и C₁B₁B. Найдём его. Тре­уголь­ни­ки B₁PC, PC₁Q и B₁PQ  — по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

Тогда по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но, угол между плос­ко­стя­ми PKB₁ и C₁B₁B равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли, при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние

Чис­ли­тель дроби опре­де­лен при Зна­ме­на­тель опре­де­лен при и от­ли­чен от нуля при то есть при и При таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной зна­ме­на­тель по­ло­жи­тель­ный, а зна­чит, чтобы не­ра­вен­ство вы­пол­ня­лось, чис­ли­тель дроби дол­жен быть не­по­ло­жи­тель­ным. Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли вы­ра­же­ние:

Итак, не­об­хо­ди­мо ре­шить не­ра­вен­ство

Пер­вый мно­жи­тель в левой части по­ло­жи­те­лен при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му на него можно раз­де­лить, не меняя знака не­ра­вен­ства. По­лу­ча­ем:

При­ме­ним метод ин­тер­ва­лов для Левая часть по­лу­чен­но­го не­ра­вен­ства об­ра­ща­ет­ся в нуль при или при а зна­чит, не­ра­вен­ство может вы­пол­нять­ся при при или при Взяв проб­ные точки −13, −1 и 2,5, на­хо­дим, что не­ра­вен­ство верно при или при при усло­вии

Ответ:

Ре­ше­ние. В усло­вии за­да­чи при­ве­де­ны го­до­вые про­цент­ные став­ки. Ме­сяч­ные став­ки про­пор­ци­о­наль­но мень­ше: за два ме­ся­ца хра­не­ния денег будет на­чис­ле­но 6 : 12  =  0,5 (%) от суммы вкла­да, за 4 ме­ся­ца будет на­чис­ле­но 18 : 12  =  1,5 (%), а за 6 ме­ся­цев будет на­чис­ле­но 12 : 12  =  1 (%). За­ме­тим, что усло­вие за­да­чи не­про­ти­во­ре­чи­во, по­сколь­ку 10% боль­ше, чем каж­дая из над­ба­вок в раз­ме­ре 0,5%, 1% и 1,5%.

Пусть пер­во­на­чаль­но сумма вкла­да была равна K у. е., со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

Ме­ся­цы	На­чис­ле­ние банка, (у. е.)	Ве­ли­чи­на вкла­да к на­ча­лу сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца с уче­том до­пол­ни­тель­но­го взно­са (у. е.)
1		1,1K
2		1,2K
3		1,3K
4		1,4K
5		1,5K
6		(до­пол­ни­тель­но­го вкла­да не было)

За пол­го­да банк на­чис­лил

то есть

Ответ: 7,7.

Ре­ше­ние. а)  Углы BB₁C и CC₁B пря­мые, по­это­му точки B, B₁, C, C₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Тогда

Ана­ло­гич­но, Зна­чит,

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из преды­ду­ще­го пунк­та сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки ABC и AB₁C₁ по­доб­ны по двум углам. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен С дру­гой сто­ро­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен От­сю­да Тогда Пусть AA₁ и B₁C₁ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке D. За­пи­шем две тео­ре­мы си­ну­сов  — для тре­уголь­ни­ков AB₁D и AC₁D:

По­де­лив пер­вое ра­вен­ство на вто­рое по­лу­чим сле­ду­ю­щее:

Ответ: б) 2 : 1.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ирины Шраго.

Из преды­ду­ще­го пунк­та сле­ду­ет, что тре­уголь­ни­ки ABC и AB₁C₁ по­доб­ны по двум углам. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен С дру­гой сто­ро­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен От­сю­да Тогда из тре­уголь­ни­ка ABB₁ по­лу­чим ∠ABB₁  =  30°, из тре­уголь­ни­ка ACC₁ по­лу­чим ∠ACC₁  =  30°.

Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC.

Во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка A₁BC₁H можно опи­сать окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, ∠C₁A₁H = ∠C₁BH как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка A₁CB₁H можно опи­сать окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, ∠B₁A₁H = ∠B₁CH как впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Тогда ∠B₁A₁H = ∠C₁A₁H  =  30°. Сле­до­ва­тель­но, ∠B₁A₁C₁  =  60°, AA₁  — его бис­сек­три­са. Бис­сек­три­са делит про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну на от­рез­ки, про­пор­ци­о­наль­ные при­ле­жа­щим сто­ро­нам. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке B₁A₁C₁ сто­ро­на B₁A₁  — ги­по­те­ну­за, A₁C₁  — катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в 30°, сле­до­ва­тель­но,

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, рас­крыв мо­дуль:

По­стро­им гра­фик по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa. Гра­фик пер­вой си­сте­мы пред­став­ля­ет собой части па­ра­бо­лы ле­жа­щие не выше пря­мой Гра­фик вто­рой си­сте­мы пред­став­ля­ет собой части па­ра­бо­лы ле­жа­щие выше пря­мой

При по­стро­ен­ный гра­фик имеет че­ты­ре точки пе­ре­се­че­ния с го­ри­зон­таль­ной пря­мой, при и при   — три точки, при осталь­ных зна­че­ни­ях a  — две точки. Зна­чит, ис­ход­ное урав­не­ние имеет че­ты­ре корня при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер, в пер­вый день на­пи­са­но 100 еди­ниц, а каж­дый сле­ду­ю­щий день пишут на две еди­ни­цы мень­ше и на одну трой­ку боль­ше, чем в преды­ду­щий. Сумма чисел рас­тет на 1, а их ко­ли­че­ство умень­ша­ет­ся на 1. Это поз­во­ля­ет пи­сать числа как ми­ни­мум 51 день.

б)  Да. Пусть в пер­вый день на­пи­са­на 1 и де­сять двоек, во вто­рой день  — пять троек и пять чет­ве­рок, в тре­тий день  — де­вять чет­ве­рок. Тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское за пер­вый день равно а за все дни

в)  Ясно, что в пер­вый день за­пи­са­но не более пяти чисел, по­это­му во вто­рой за­пи­са­но не более че­ты­рех, в тре­тий  — не более трех, в чет­вер­тый  — не более двух, а пя­то­го дня не может быть, по­сколь­ку там не более од­но­го числа, а сумма чисел долж­на быть боль­ше 5. Если дней че­ты­ре, то в чет­вер­тый день сумма не пре­вос­хо­дит 2 · 4  =  8, а общая сумма не пре­вос­хо­дит Если дней два, то сумма не пре­вос­хо­дит Если дней три, то сумма в по­след­ний день не более 4 · 3  =  12, по­это­му общая сумма не более Зна­чит, сумма не пре­вос­хо­дит 28. Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, если в пер­вый день за­пи­сать 1, 1, 1, 1, 1, во вто­рой  — 2, 3, 3, 3, в тре­тий  — 4, 4, 4.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  28.