Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при и то есть при При этом усло­вии де­ле­ние на в левой части урав­не­ния эк­ви­ва­лент­но умно­же­нию на и обе части урав­не­ния можно раз­де­лить на от­ку­да по­лу­ча­ем:

б)  Отберём корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть M и N  — се­ре­ди­ны C₁D₁ и A₁B₁ со­от­вет­ствен­но. Про­длим MN до S  — точки пе­ре­се­че­ния с реб­ром B₁C₁. Пря­мая BS  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с плос­ко­стью BCC₁, P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой BS с реб­ром CC₁, MP  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с плос­ко­стью CDD₁. Про­длим MP до T  — точки пе­ре­се­че­ния с реб­ром DD₁, TN  — пря­мая пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти се­че­ния с плос­ко­стью ADD₁. Про­длим TN до Q  — точки пе­ре­се­че­ния с реб­ром AA₁. Со­еди­ним B и Q, по­лу­чим се­че­ние  — пя­ти­уголь­ник BPMNQ.

Из точки M опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую BS, C₁  — про­ек­ция точки M на плос­кость BCC₁, сле­до­ва­тель­но, пря­мая C₁G пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BS, и MGC₁  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го угла. Тре­уголь­ни­ки MC₁S и MD₁N равны, от­сю­да

Тре­уголь­ни­ки SC₁P и BCP по­доб­ны, от­ку­да C₁P  =  1, тогда

то есть

б)  Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся пя­ти­уголь­ник BPMNQ, S_BPMNQ  =  S_BPTQ − S_TMN. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния MN и BT, пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BDT, сле­до­ва­тель­но, пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BT. Тре­уголь­ни­ки PC₁M и TD₁M равны, далее:

Далее, PM  =  MT  =  TN  =  NQ, сле­до­ва­тель­но, пря­мые MN и PQ па­рал­лель­ны, Из точки D опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую BT. Так как пря­мая MТ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BDT и пря­мой DH, от­ре­зок DH пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти се­че­ния и яв­ля­ет­ся вы­со­той ука­зан­ной пи­ра­ми­ды. Имеем: Те­перь найдём объем пи­ра­ми­ды:

Ответ: б) 10,5.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть общая сумма ин­ве­сти­ро­ван­ных денег равна 3S, и пусть каж­дые три ме­ся­ца акции пер­во­го АО росли на a%, а акции вто­ро­го АО  — на b%. Обо­зна­чим по­вы­ша­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты и Тогда

Если трей­дер вло­жит всю сумму в акции пер­во­го АО, то вло­жен­ная сумма уве­ли­чит­ся в раз, то есть в 1,44 раза, или на 44%.

Ответ: 44.

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим ос­но­ва­ние вы­со­ты, про­ве­ден­ной из точки С за F. За­ме­тим те­перь, что тре­уголь­ни­ки AFH и BFC по­доб­ны. Дей­стви­тель­но, углы BCF и AHF равны по­это­му тре­уголь­ни­ки AFH и BFC по­доб­ны по двум углам. Из по­до­бия сле­ду­ет ра­вен­ство:

Те­перь из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка AKB по­лу­ча­ем: От­сю­да

а, зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из п. а) сле­ду­ет, что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Решим за­да­чу гра­фо­ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. Пре­об­ра­зу­ем си­сте­му:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa пер­во­му не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты точек, ле­жа­щих в двух ча­стях плос­ко­сти, огра­ни­чен­ных пря­мы­ми и вклю­чая сами пря­мые (вы­де­ле­но синим). Вто­ро­му не­ра­вен­ству со­от­вет­ству­ет по­ло­са между пря­мы­ми и вклю­чая сами пря­мые (вы­де­ле­но крас­ным). Ре­ше­ни­ем си­сте­мы будут общие точки ча­стей плос­ко­сти, со­от­вет­ству­ю­щих пер­во­му и вто­ро­му не­ра­вен­ствам (вы­де­ле­но фи­о­ле­то­вым). Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет хотя бы одно ре­ше­ние при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Про­из­ве­де­ние цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть в 10 раз мень­ше.

б)  Пред­по­ло­жим, что такое число n су­ще­ству­ет и a, b, c, d  — его цифры. За­ме­тим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их про­из­ве­де­ние было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  175(a + b + c + d). Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 25, по­это­му среди цифр най­дут­ся две цифры 5. Так как при пе­ре­ста­нов­ке ме­ста­ми цифр числа n ра­вен­ство abcd  =  175(a + b + c + d) остаётся вер­ным, без огра­ни­че­ния общ­но­сти можно счи­тать, что в числе n цифры c и d равны 5. Но тогда По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие.

в)  Пред­по­ло­жим, что такое число n су­ще­ству­ет и a, b, c, d  — его цифры. Как и ранее, за­ме­тим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их про­из­ве­де­ние было бы равно нулю. Имеем: abcd  =  50(a + b + c + d). Пра­вая часть этого ра­вен­ства де­лит­ся на 25, по­это­му среди цифр най­дут­ся две цифры 5. Без огра­ни­че­ния общ­но­сти будем счи­тать, что c  =  d  =  5.

Тогда ab  =  2(a + b + 10). Пра­вая часть по­след­не­го ра­вен­ства де­лит­ся на 2, по­это­му либо a, либо b де­лит­ся на 2. Будем счи­тать, что на 2 де­лит­ся b.

Если b  =  2, то a  =  a + 12, что не­воз­мож­но. Если b  =  4, то 2a  =  a + 14; a  =  14, что не­воз­мож­но.

Если b  =  6, то 3a  =  a + 16; 2a  =  16; a  =  8. Число n  =  8655 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр, удо­вле­тво­ря­ют усло­вию за­да­чи. Если b  =  8, то 4a  =  a + 18; 3a  =  18; a  =  6. Этот ва­ри­ант также по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го пе­ре­ста­нов­кой цифр.

Ответ: а)  на­при­мер, 2529; б)  нет; в)  число 8655 и все числа, по­лу­ча­е­мые из него пе­ре­ста­нов­кой цифр (всего 12 чисел).

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 515922.