PDF-версии: 1. Тип 13 № 562950 
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение:
Заметим, что
Подставив в уравнение, получим
Сделав замену 
получим уравнение
Таким образом,
б) Отберём корни при помощи единичной окружности. Подходит 
Ответ: а) 
б)
Приведем другое решение пункта а).
Преобразуем уравнение:
Заметим, что 
и 
при любом x, следовательно, оба слагаемых не больше 0, поэтому их сумма может быть равна 0, только если слагаемые одновременно равны 0:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 562950
а) б)
б) Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Введение замены, Сведение к однородному, Тригонометрические формулы суммы и разности аргументов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
SC = 8, откуда 
Заметим, что NC = 2. По теореме косинусов для треугольника MNC:
Искомая случайная величина является суммой случайных величин «число выстрелов до первого попадания» и «число выстрелов от первого до второго попадания». Математическое ожидание каждой из этих двух случайных величин равно 
то есть 20. Следовательно, в силу линейности искомое математическое ожидание равно 40. 
(тыс. руб.).
Каждому значению переменной y соответствует ровно одно значение переменной t, значит, при такой замене количество решений системы не изменится. Получаем:
второе уравнение, а значит, и вся система не имеет решений. При 
решением второго уравнения является только пара чисел 
которая не является решением первого уравнения, поэтому система не имеет решений.
в системе координат xOt графиком второго уравнения является окружность с центром в точке 
а графиком первого уравнения являются стороны квадрата с вершинами в точках 
и 
Тогда ровно четыре решения система имеет в случаях, если окружность является либо вписанной в квадрат 
либо описанной около квадрата 
в остальных случаях система либо не имеет решений, либо имеет восемь решений. Значит,
..., 
х (потому что если утроить любое из этих чисел, кроме x, результат будет больше, чем 3x). Поскольку числа различны, то получившееся x замыкает круг. Поэтому общая сумма чисел равна 
Поскольку 
и функция 
возрастает, получаем, что 
и 
Пример для числа 93 — набор 
с суммой 1984.