Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при усло­вии :

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­ча­ем

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка O  — центр ос­но­ва­ния, а SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. За­ме­тим, что и, сле­до­ва­тель­но, SAC  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, а SO  — его вы­со­та и ме­ди­а­на. Тогда и по­то­му тре­уголь­ник SOA также пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Сле­до­ва­тель­но, его ме­ди­а­на OM яв­ля­ет­ся также и вы­со­той. Таким об­ра­зом, пря­мые OM и SA вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Кроме того, диа­го­наль BD пер­пен­ди­ку­ляр­на AC и пря­мой SO, сле­до­ва­тель­но, диа­го­наль BD пер­пен­ди­ку­ляр­на грани SAC и пря­мой SA. Зна­чит, пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BMD.

б)  Из п. а) пря­мые OM и BD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, Тогда

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, вос­поль­зо­вав­шись свой­ства­ми сте­пе­ней и ло­га­риф­мов, в том числе свой­ством :

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­со­та CH тре­уголь­ни­ка ABC, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию AB, равна 12. Зна­чит, пло­щадь С дру­гой сто­ро­ны, от­ку­да

б)  Вы­со­та тре­уголь­ни­ка равна За­ме­тим, что че­ты­рех­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ник. Дей­стви­тель­но, пря­мые па­рал­лель­ны как ра­ди­у­сы, пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой как ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния. По­сколь­ку пря­мые XH и пер­пен­ди­ку­ляр­ны, Пря­мая   — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка По­сколь­ку а

по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но,

Тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку по двум углам (по­сколь­ку со­от­вет­ству­ю­щие сто­ро­ны па­рал­лель­ны) с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия, рав­ным

Пло­ща­ди по­доб­ных тре­уголь­ни­ков от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му Под­став­ляя, по­лу­ча­ем от­ку­да

Ответ: б) 29,4.

Ре­ше­ние. Пусть пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да равна S руб. За­пол­ним таб­ли­цу.

Номер года	Ма­ри­на		На­деж­да
	Вло­же­ние в на­ча­ле года, руб.	Сумма с учётом про­цен­тов в конце года, руб.	Вло­же­ние в на­ча­ле года, руб.	Сумма с учётом про­цен­тов в конце года, руб.
1	S		S
2
3
4

Най­дем раз­ность сумм на сче­тах в конце четвёртого года:

По усло­вию за­да­чи эта раз­ность долж­на со­став­лять на­ту­раль­ное число де­сят­ков руб­лей, то есть  руб., где Сле­до­ва­тель­но, долж­но быть спра­вед­ли­во ра­вен­ство

Наи­мень­шее на­ту­раль­ное зна­че­ние x до­сти­га­ет­ся при наи­мень­шем n, крат­ном 7, то есть при n  =  7. Тогда

Ответ: 625.

Ре­ше­ние. Ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек плос­ко­сти xOy при­над­ле­жа­щих па­ра­бо­ле и ле­жа­щих выше неё. Ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек плос­ко­сти xOy при­над­ле­жа­щих пря­мой и ле­жа­щих ниже неё. Зна­чит, си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, если па­ра­бо­ла и пря­мая не имеют общих точек; си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний, если па­ра­бо­ла и пря­мая имеют две общие точки; си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние, если па­ра­бо­ла и пря­мая имеют толь­ко одну общую точку (пря­мая ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы).

Па­ра­бо­ла и пря­мая имеют одну общую точку тогда и толь­ко тогда, когда дис­кри­ми­нант урав­не­ния равен нулю. За­пи­шем урав­не­ние в виде

и най­дем дис­кри­ми­нант:

Дис­кри­ми­нант равен нулю при или При най­ден­ных а си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние.

Ответ: или

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер, можно по­смот­реть в пер­вый день ро­ли­ки дли­ной 15 + 14 + 1 мин., потом 13 + 12 + 5 мин., потом 11 + 10 + 9 мин., потом 8 + 7 + 6 + 4 + 3 + 2 мин.

б)  Сум­мар­ная длина всех ро­ли­ков равна 1 + 2 + ... + 10  =  55 мин., что не де­лит­ся на 30.

в)  Ясно, что при k ≥ 31 есть ролик дли­ной 31 ми­ну­ту, ко­то­рый по­смот­реть нель­зя. Кроме того, сум­мар­ная длина всех ро­ли­ков, рав­ная долж­на быть крат­на 30, то есть k или k + 1 долж­ны быть крат­ны 5. Пе­ре­бе­рем ва­ри­ан­ты:

k  =  4, сум­мар­ная длина 10;

k  =  5, сум­мар­ная длина 15;

k  =  9, сум­мар­ная длина 45;

k  =  10, сум­мар­ная длина 55;

k  =  14, сум­мар­ная длина 105;

k  =  15, сум­мар­ная длина 120, этот слу­чай разо­бран в пунк­те а);

k  =  19, сум­мар­ная длина 190;

k  =  20, сум­мар­ная длина 210. Это воз­мож­но, раз­би­вая ро­ли­ки, на­при­мер так:

k  =  24, сум­мар­ная длина 300, это воз­мож­но, если раз­би­вать ро­ли­ки, на­при­мер, так:

k  =  25, сум­мар­ная длина 325;

k  =  29, сум­мар­ная длина 29 · 15;

k  =  30, сум­мар­ная длина 31 · 15.

Итак, это воз­мож­но при k  =  15, 20, 24.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  k  =  15, 20, 24.