а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой B₁C₁ в точке K. Трапеция ABKN — искомое сечение.

б) Имеем A₁N= 3, так как точка N — середина ребра A₁C₁. Значит, Аналогично BK = 5.

Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A₁B₁C₁. Следовательно, искомый периметр сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.

Ответ: 19.

а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до пересечения ее с прямой AB в точке L — середине AB. В основании ABCD через точку L проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СD в точке M — его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.

Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.

б) Отрезки KL и MN равны, как средние линии равных правильных треугольников ABP и DCP, а отрезок LM ― средняя линия квадрата ABCD, следовательно, построенное сечение ― равнобедренная трапеция, в которой LM = 4, KL = KN = MN = 2. Проведем высоту KF этой трапеции. Тогда и из прямоугольного треугольника KLF находим

Окончательно получаем

Ответ:

а) Проведём отрезок и в плоскости грани проведём через точку прямую, параллельную Эта прямая пересечёт ребро в точке Точка лежит в плоскости Треугольники и подобны, как треугольники с параллельными сторонами, следовательно,

Таким образом, Тогда и

б) Четырёхугольник — сечение параллелепипеда плоскостью Поскольку стороны и параллельны, но не равны. Четырёхугольник  — трапеция. Продолжим боковые стороны и до пересечения в точке Точка — середина поэтому отрезок — средняя линия треугольника Из равенства треугольников и получаем откуда то есть трапеция  — равнобедренная.

Найдём стороны трапеции:

Высота равнобедренной трапеции

Тогда

Ответ: б) 90.

а) Плоскость EFT пересекает грани BB₁C₁C и AA₁D₁D по параллельным отрезкам.

Значит, треугольники D₁A₁E и TB₁F подобны, причём прямые D₁A₁ и B₁C₁ параллельны, прямые A₁E и B₁F тоже параллельны. Поэтому прямые ED₁ и FT также параллельны. Если плоскость EFT не проходит через точку D₁, то получается, что в плоскости AA₁D₁D через точку E проходят две различные прямые, параллельные прямой FT. Получили противоречие.

б) Сечение параллелепипеда плоскостью EFT — трапеция. Проведём через точку F прямую, параллельную прямой AB. Получим точку P на ребре AA₁.

Тогда

Следовательно, EF = D₁T, и трапеция EFTD₁ равнобедренная. Проведём в ней высоту TH.

Тогда

Ответ: б) 97,5.

а) Проведём KE — среднюю линию треугольника BB'D'. E — середина B'D', следовательно, точка пересечения диагоналей верхнего основания и сечение содержит диагональ A'C'. Треугольник A'C'K является искомым сечением по признаку параллельности прямой и плоскости.

Прямоугольные треугольники A'B'K и С'B'K равны по двум катетам, поэтому A'K = С'K, следовательно, треугольник A'C'K — равнобедренный.

б) Далее имеем:

Ответ: б) 16.