№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Расстояние между прямыми и плоскостями
1.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.

2.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

3.

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA 12 корень из { 2}. Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

4.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC1 равен 60°.

б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC1.

5.

В кубе ABCDA1B1C1D1 рёбра равны 1. На продолжении отрезка A1C1 за точку C1 отмечена точка M так, что A1C1 = C1M, а на продолжении отрезка B1C за точку C отмечена точка N так, что B1C = CN.

а) Докажите, что MN = MB1.

б) Найдите расстояние между прямыми B1C1 и MN.

6.

Дана пирамида SABC, в которой SC=SB=AB=AC= корень из { 17}, SA=BC=2 корень из 5 .

а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.

б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA.

7.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA1.

а) Докажите, что прямые MB и B1C перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми MB и B1C.

8.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

9.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

10.

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что плоскости A1BD и B1D1C параллельны.

б) Найдите расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C.

11.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.

а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.

12.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка O1 — центр квадрата ABCD, точка O2 — центр квадрата CC1D1D.

а) Докажите, что прямые A1O1 и B1O2 скрещиваются.

б) Найдите расстояние между прямыми A1O1 и B1O2 , если ребро куба равно 1.

13.

В правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.

а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQ

б) Найдите расстояние между NA и QB, если ребро тетраэдра равно 1.

14.

В правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2.

а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.

б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно  корень из { 6}.

15.

В правильной шестиугольной призме АВСDEFА1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.

а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD1.

б) Найдите расстояние между прямыми ЕD1 и FE1.

16.

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M — середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причем AN : NC = 15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA1 призмы.

а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.

б) Найдите расстояние между прямыми MN и CA1, если AC = 16, BC=2 корень из { 17}.

17.

Основанием пирамиды АВСD является равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину  корень из { 2}. Пусть М — середина ребра ВС, а N — середина ребра АВ.

А) Докажите, что угол между прямыми DM и СN равен 45°.

Б) Найдите расстояние между прямыми DM и СN.

18.

Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 — треугольник ABC, в котором AB = AC = 8, а один из углов равен 60°. На ребре AA1 отмечена точка P так, что AP : PA1 = 1 : 2. Расстояние между прямыми AB и B1C1 равно 18 корень из { 3}.

а) Докажите, что основания высот треугольников ABC и PBC, проведенных к стороне BC, совпадают.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CBP.