а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота и, следовательно, медиана, T — середина SM.

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно, откуда

Ответ: б)

а) Заметим, что B₁C₁ ⊥ C₁A₁ как катеты прямоугольного треугольника, и B₁C₁ ⊥ C₁C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Кроме того, как диагонали квадрата. AB₁ − наклонная, AC₁ − ее проекция на плоскость ACA₁, − прямая в плоскости , перпендикулярная проекции. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах что и требовалось доказать.

б) Пусть M − середина AC₁. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB₁, поскольку прямая A₁C перпендикулярна плоскости AB₁C₁. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB₁C₁, проведённой к гипотенузе, то есть

Ответ:б)

а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке M. Так как и то Поскольку то AK ― высота и медиана правильного треугольника PAC. Следовательно, M ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем PM : MH = 2 : 1.

б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC. Так как KL || PH и PK = KC, то и L ― середина CH. Отрезок BL ― проекция отрезка BK на плоскость ABC. Поскольку точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и BK равно расстоянию от точки H до прямой BL, то есть высоте h треугольника BHL проведенной из вершины H.

Далее имеем:

Ответ: б)

а) Прямые ВС₁ и AD₁ параллельны, поэтому угол между прямыми АС и ВС₁ равен углу CAD₁. Треугольник CAD₁ равносторонний, поэтому все его углы равны 60°.

б) Заметим, что прямые АС и ВС₁ содержатся в параллельных плоскостях ACD₁ и BC₁A₁. Значит, искомое расстояние равно расстоянию между этими плоскостями.

Обозначим центры треугольников ACD₁ и BC₁A₁ через точки О и О₁ соответственно. Точка D равноудалена от вершин треугольника ACD₁, поэтому проекция точки D на плоскость ACD₁ совпадает с О. Аналогично проекция точки D на плоскость BC₁A₁ совпадает с О₁, а проекции точки В₁ на плоскости ACD₁ и BC₁A₁ также совпадают с точками О и О₁ соответственно. Значит, прямая DB₁ перпендикулярна плоскостям ACD₁ и BC₁A₁ и содержит точки О и О₁.

Объем тетраэдра DACD₁ равен 36, а площадь его основания . Значит, высота . Аналогично . Кроме того, . Значит, .

Ответ: б)

а) Введем систему координат, как показано на рисунке. В введенной системе координат имеем:

Таким образом, у нас получилось, что

б) Заметим, что проекцией B₁C₁ на плоскость DCC₁D₁ является точка C₁. Спроектируем MN на плоскость DCC₁D₁, получим отрезок M₁N₁. Таким образом, задача свелась к нахождению расстояния от точки C₁ до M₁N₁. Это расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины C₁ треугольника N₁C₁M₁. Очевидно, что данный треугольник является прямоугольным, а его катеты равны 2 и 1. Тогда его гипотенуза находится по теореме Пифагора, она равна Следовательно, высота равна

Ответ: б)