Сделаем замену Поскольку , то и каждому такому соответствует единственное

Получаем задачу — при каких уравнение имеет корень, больший чем ?

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Задача свелась к ответу на вопрос: при каких значениях , горизонтальная прямая имеет пересечение с графиком функции правее вертикальной прямой (красная линия).

Получаем ответ: при

Преобразуем неравенство:

Неравенство определяет на плоскости полосу, заключенную между прямыми и Неравенство задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

На рисунке видно, что прямая пересекает параболу при это означает, что на интервале есть , не удовлетворяющие неравенству, только если

Ответ:

Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители:

Способ 1 (метод интервалов).

Так как знаменатель исходной дроби имеет корни и Если числа 2,  и  попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, и какие-то два совпали.

1. Если или то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: (см. рисунок 1).

2. Если то так как, согласно условию

В этом случае множеством решений данного неравенства является луч (см. рисунок 2).

Способ 2 (графоаналитический).

Данное неравенство задает на координатной плоскости Oxa три области (см. заштрихованные области на рисунке 3).

Множество решений данного неравенства при каждом значении a есть множество абсцисс всех точек этих областей, ордината которых равна a.

Это множество является лучом только при

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы

Если , то неравенство, а значит, и система не имеет решений.

Если , то решение неравенства — луч

Если , то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы принимает вид

Если , то решением первого неравенства исходной системы — будут два луча с концами в точках Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где большее из чисел и , а значит система будет иметь решение.

Если , то, в случае первое неравенство исходной системы, а значит, и система не будет иметь решений. В остальных случаях решением первого неравенства исходной системы будет полуинтервал с концами в точках Отметим, что точки нет во множестве решений первого неравенства.

Для того, чтобы система в этом случае не имела решений необходимо и достаточно:

Учитывая случаи , получаем ответ.

Ответ:

Сделаем замену и заметим, что Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения Очевидно, является его решением при всех a.

При уравнение сводится к Это уравнение имеет два положительных корня, если то есть при и один положительный корень при или

При уравнение сводится к Это уравнение имеет два отрицательных корня, если то есть при и один отрицательный корень при или

Значит, при система будет иметь два решения;

при система будет иметь три решения;

при система будет иметь четыре решения;

при система будет иметь три решения;

при система будет иметь четыре решения;

при система будет иметь три решения;

при система будет иметь два решения.

Поэтому нужное количество корней будет при

Ответ: