а) По свойству биссектрисы получим:

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

Осталось по теореме косинусов найти CD из треугольника BCD:

Таким образом CD = BC = 2. Что и требовалось доказать.

б) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

Ответ:

Примечание: в данной задаче получилось, что ADC равнобедренный, откуда , откуда

а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.

б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан а также получим:

а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и

б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем откуда

По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем откуда

Ответ:

а) Напишем теорему Менелая для треугольника ABF и прямой MKC. Получим

Тогда

Аналогично площади остальных треугольников равны

б) Из решения пункта а) видно, что Аналогично

Поэтому

Ответ:

а) Пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе CD. Треугольники ACD и ABC подобны по двум углам ( общий, ) с коэффициентом , и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей.

По тем же причинам подобны треугольники BCD и ABC ( общий, ). Значит, и треугольники ACD и BCD подобны.

б) Как следует из первого пункта, в треугольниках ACD, BCD, ABC одинаково отношение гипотенузы к радиусу вписанной окружности. Обозначим это отношение за x. Тогда Тогда по теореме Пифагора откуда

Ответ: 1.