а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2 : 1, то есть

Рассмотрим высоту SE треугольника SAB. Точка F₁ являеся ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок тогда

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как или в соотношении 5 : 1, начиная от точки C. Что и требовалось доказать.

б) Найдем высоту искомой пирамиды Медиану СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок отрезок (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

Объем пирамиды найдем по формуле

Ответ: б)

а) Поскольку SA = SC, точка S лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AC и проходящей через его середину M. Следовательно, O лежит на прямой BM. Обозначим высоту пирамиды за x, тогда Следовательно, и При этом поэтому точка O лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO < BO, она лежит на продолжении BM за точку M.

б) Из треугольника SMA найдем Теперь, из треугольника SMO находим Тогда из треугольника BOS имеем

Тогда и

Приведем вариант решения п. а) предложенный Елизаветой Римшей.

В треугольнике ABC высота По теореме Пифагора Напишем теорему косинусов для треугольника BMS:

Следовательно, — тупой и высота SO лежит вне треугольника.

Ответ:

а) Поскольку средняя линия треугольника , Но по теореме о трех перпендикулярах — проекция на плоскость основания пирамиды — прямая Значит, и то есть

б) Пусть Тогда , Кроме того, , откуда Тогда высота боковой грани пирамиды и площадь поверхности пирамиды

Ответ: 192.

а) Треугольник BAC — равнобедренный. Проведём AM ⊥ BC. M — середина BC, тогда DM ⊥ BC, так как треугольник BDC равнобедренный. ∠AMD = φ — линейный угол двугранного угла при ребре BC. Аналогично ∠BNC = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD. ΔABC = ΔDBC по трём сторонам, тогда MA = MD и

Аналогично ΔBAD = ΔCAD и NB = NC, а

Треугольники ANM и BMN равны по общему катету MN и острому углу α, тогда AN = BM. Но следовательно, AD = BC.

б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD равносторонний. Пусть AD = AM = MD = BC = a, тогда В треугольнике AMB имеем откуда и

Тогда

Ответ:

Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен

Ответ: