а) Да, может. Числа 2, 3, 4, 5 составляют арифметическую прогрессию, их сумма равна 14.

б) Пусть a — первый член, d — разность, n — число членов прогрессии, тогда их сумма равна Чтобы количество членов было наибольшим, первый член и разность должны быть наименьшими. Пусть они равны 1, тогда по условию Наибольшее натуральное решение этого неравенства n = 41. Такой результат получается при прогрессии

в) Для суммы членов арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, число членов прогрессии n является делителем числа 246. Если то левая часть больше 246: следовательно, Поскольку получаем, что или Прогрессии из трёх и шести членов с суммой 123 существуют: например, 40, 41, 42 и 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Ответ: а) да; б) 41; в) 3; 6.

Пусть количества единиц, двоек, троек и четвёрок среди … равны соответственно. Тогда и

а) По условию

Решая систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными, находим: Значит,

б) Если где то В последнем равенстве левая часть кратна 5, а правая  — нет, поэтому не может быть равным 4547.

в) Если где то Кроме того, поскольку получаем:

Вычтем из первого полученного равенства второе: Значит, делится на 5 и может равняться только 0 или 5. При получаем:

При получаем:

Ответ: а) 11285; б) нет; в) 905 или 917.

а) Очевидно, что начиная со второй строчки, все числа в таблице не больше 1000. Кроме того, каждое число не больше написанного под ним. Поэтому сумма чисел в третьей строчке не меньше, чем во второй и т.д., и каждая из этих сумм не больше миллиона. Следовательно, поскольку все время суммы возрастать не могут, в каких-то соседних строчках суммы совпадут, а тогда совпадут и сами строчки.

б) Докажем, что если в -ой строчке при число отлично от написанного над ним, то оно не меньше, чем Действительно, для это очевидно, так как все числа второй строки натуральные. Пусть это уже проверено для всех строк с номерами, меньшими Пусть в -ой строчке написано число а под ним написано число большее Тогда в -ой строчке написано чисел, равных Ясно, что в -ой строчке будет написано несколько групп одинаковых чисел, по в каждой группе, причем числа из разных групп различны. Отсюда вытекает, что делится на то есть Кроме того, по крайней мере одно из чисел в этих группах отличается от а значит, по предположению индукции Итак, Наше утверждение доказано по индукции для всех Если предположить, что 11-я строчка отлична от 12-й, то какое-то число в 12-й строчке будет больше, чем что невозможно.

в) Приведем такой пример:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 1488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В первой строчке 0 и 1 встречаются по одному разу, 2 — два раза, 4 — четыре раза, 8 — восемь раз, …., 256 — 256 раз, 488 — встречается 488 раз, в 11 строчке встречается 512 раз число 512 и 488 раз число 488.

а) Например, годится такая прогрессия:

б) Например, годится такая прогрессия:

в) Ясно, что последовательность является арифметической прогрессией с разностью Кроме того, каждый член такой последовательности можно сократить так, чтобы в числителе была единица. Значит, все они являются членами исходной последовательности.

а) Закон можно угадать, заметив, например, что пока число однозначное, оно удваивается, а потом — нет. А то, что 10 переходит в 2, наводит на мысль, что удваивается не само число, а сумма его цифр. Итак, искомый закон обнаружен: «Удвоенная сумма цифр».

б) Легко заметить, что однозначных чисел, больших нуля, с требуемым свойством нет. Попробуем найти решение среди двузначных чисел. Если первая цифра двузначного числа равна a, а вторая равна b, то само число равно 10a + b. Имеем 10a + b = 2(a + b). Отсюда 8a = b, то есть a = 1, b = 8.

Можно показать, что других решений нет: самое маленькое трёхзначное число — 100, а самая большая сумма трёх цифр 9 + 9 + 9 = 27, поэтому удвоенная сумма цифр всегда меньше самого числа. Так же с четырехзначными, пятизначными, и так далее.

в) Заметим, что если число не меньше, чем трёхзначное, то его сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остаётся единственная опасность: попасть в «неподвижную точку» — 18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число не делилось на 9, а при данном преобразовании числа, не кратные 9, не могут перейти в числа, кратные 9.

Ответ: а) удвоенная сумма цифр; б) 18.