Заметим, что при любых значениях переменной и параметра знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок синус должен принимать все значения (см. рисунок)

Пусть , тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия и

Ответ:

Пусть Если то — два корня. Если тогда — единственный корень.

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет ровно один корень больший 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Пусть Если тогда и Если тогда

Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня в двух случаях:

1) когда уравнение имеет всего один корень и этот корень больше 1;

2) когда уравнение имеет ровно два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Рассмотрим эти случаи:

1) Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю:

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение не имеет корней.

При уравнение имеет единственный корень В этом случае исходное уравнение имеет два корня.

2) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ:

Сделаем замену тогда Имеем:

Причем значениям x из отрезка соответствуют t, лежащие в отрезке

При неравенство (⁎) верно, поскольку на отрезке первое слагаемое в левой части неотрицательно, а другие положительны. Если то старший коэффициент квадратичной функции отрицателен, а потому для того, чтобы функция f была положительной на необходимо и достаточно одновременного выполнения неравенств и Тогда и то есть Учитывая условие находим: Объединяя со случаем окончательно получаем:

Ответ:

Сделаем замену поэтому Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Перейдем к системе:

Заметим, что ни при одном значении число не является корнем уравнения.

Рассмотрим функцию Её график — парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех условий:

1) Трёхчлен имеет два различных корня, и только больший из них лежит на промежутке , то есть

2) Трёхчлен имеет два различных корня, и только меньший из них лежит на промежутке , то есть

3) Трёхчлен имеет два корня, возможно, совпадающих, и оба, а также вершина, лежат на промежутке , то есть

где — абсцисса вершины параболы. Эти условия соответствуют следующим способам расположения графика функции

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Решим третью систему:

Приведем решение, предложенное Ириной Владимировной Шраго.

Сделаем замену поэтому и преобразуем уравнение.

Задачу можно сформулировать так: найдите значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию Левая часть этого уравнения функция графиком которой является парабола, правая часть функция — пучок прямых проходящих через точку Для того, чтобы исходное уравнение имело решение, необходимо, чтобы графики пересекались при

Определим, при каких a графики касаются, в этом случае дискриминант уравнения должен быть равен нулю. откуда a = –3 или a = –2. В первом случае касание происходит при а во втором при Таким образом, при — графики пересекаются на промежутке при — графики не пересекаются, при — графики пересекаются на промежутке

Откуда и следует ответ.

Ответ: