№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Круглые тела: цилиндр, конус, шар
1.

В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

2.

Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом \arccos 0,6.  Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

б) Найдите объем данной пирамиды.

3.

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка О (центр вписанной сферы), одинаково удаленная ото всех граней пирамиды.

б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.

4.

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

5.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно  корень из { 730}.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

6.

Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 3 описана сфера. На ребре CC1 взята точка M так, что плоскость, проходящая через точки A, B и M, образует угол 15° с плоскостью ABC.

 

a) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки A, B и M.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости сечения и сферы

7.

Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.

а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.

б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

8.

Прямоугольник ABCD и цилиндр расположены таким образом, что AB — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания и касается его окружности, при этом плоскость прямоугольника наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60°.

а) Докажите, что ABCD — квадрат.

б) Найдите длину той части отрезка BD, которая находится снаружи цилиндра, если радиус цилиндра равен  корень из 2 .

9.

На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки A, B и C так, что AB = BC. Медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса.

а) Точка N — середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.

б) Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS = 2, AC= корень из { 6}.

10.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что \angle{ACB}=30 в степени circ, AB= корень из { 2},CC_1=2.

а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45 в степени circ.

б) Найдите объём цилиндра.

11.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.

12.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A,B и C , а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно,что \angle{ACB}=45 в степени circ, AB=2 корень из { 2},CC_1=4.

а) Докажите,что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60 в степени circ.

б) Найдите объём цилиндра.

13.

В цилиндре на окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а AC1 пересекает его ось цилиндра.

а) Докажите, что угол C1BA = 90°.

б) Найдите площадь боковой поверхности, если AB = 16, BB1 = 5, B1C1 = 12.

14.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21.

15.

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C1 причём CC1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=30 в степени circ, AB=2 корень из 3 , CC_1=4 корень из 6 .

а) Докажите, что угол между прямыми BC и AC1 равен 60 в степени circ.

б) Найдите расстояние от точки B до AC1.

16.

В конусе с вершиной S и центром основания O радиус основания равен 13, а высота равна 3 корень из { 41}. Точки A и B — концы образующих, M — середина SA, N — точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.

а) Докажите что ANO — прямой угол.

б) Найдите угол между MB и плоскостью основания, если дополнительно известно что AB = 10.

17.

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 6, BC = 8 и AS = 5 корень из 2 .

18.

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°.

а) Докажите, что существует точка (центр описанной сферы), одинаково удаленная ото всех вершин пирамиды.

б) Найдите радиус данной сферы, если дополнительно известно, что основания трапеции равны 8 и 18, а ее боковая сторона равна 13.

19.

Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания O равен 5, а его высота равна  корень из { 51}. Точка M — середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причём прямая MN параллельна образующей конуса SB.

а) Докажите что \angle ANO — прямой.

б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если AB = 8.

20.

Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса — треугольник с углом 120° при вершине М. Образующая конуса равна 2 корень из 3 . Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник — тупоугольный.

б) Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.

21.

Основание АВС правильной треугольной пирамиды SABC вписано в нижнее основание цилиндра, а вершина S расположена на оси О1О2 цилиндра (точка О1 — центр верхнего основания). Объем цилиндра равен 21π, а объем пирамиды 3 корень из { 3}.

а) Докажите, что SO1 : SO2 = 3 : 4.

б) Найдите расстояние между прямыми АС и SB, если радиус основания цилиндра равен 2 корень из { 3}.