а) Осевым сечением является равнобедренный треугольник боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).

б) Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть — центр вписанной окружности, отрезок — биссектриса угла и пусть имеем:

Тогда Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: Тем самым, искомое отношение равно или 8:3.

Ответ: 8:3.

а) Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию, следовательно, они вместе со своими проекциями и выстой пирамиды образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Таким образом, проекцией вершины является центр описанной окружности основания. Проведем через этот центр прямую, перпендикулярную основанию (она будет содержать высоту пирамиды). Построенная прямая — множество точек, равноудаленных от вершин основания. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную боковому ребру и проходящую через его середину. Все точки этой плоскости равноудалены от концов ребра. Точка пересечения этой плоскости и ранее построенной прямой будет равноудалена ото всех вершин пирамиды и потому является центром описанной сферы.

б) Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Опустим из вершины меньшего основания высоту h на большее основание, она разобьет основание на отрезки длиной 9 и 16. Тогда боковая сторона Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг трапеции, удалим мысленно одну из вершин меньшего основания и найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого являются три оставшиеся вершины трапеции. Высота трапеции Диагональ Значит, окружность описана около треугольника со сторонами 25, 15, 20. Он прямоугольный, значит, центр описанной окружности трапеции находится на большем основании, а ее радиус R = 12,5.

Таким образом, высота пирамиды падает в середину большего основания и вершина пирамиды вместе с концами большего основания образует равносторонний треугольник (два его угла по поэтому высота пирамиды Тогда объем пирамиды

Ответ: б)

а) Пусть основание пирамиды трапеция ABCD, точки K, L, M и N — основания перпендикуляров опущеных из вершины пирамиды S на стороны основания. SO — высота пирамиды. Тогда прямоугольные треугольники SOK, SOL, SOM и SON равны по катету SO и острому углу (линейному углу двугранного угла между основанием и боковой гранью равному 60^o). Следовательно, OK = OL = OM = ON и точка O является центром окружности вписанной в трапецию. Из равенства указанных треугольников будет следовать, что каждая точка высоты равноудалена от боковых граней пирамиды. Осталось на высоте SO найти точку равноудаленную и от боковых граней и от основания. Очевидно, что таковой будет являться точка G — пересечение высоты SO c биссектриссой одного из углов указанных треугольников, например, SMO (все биссектриссы углов этих треугольников, в силу равенства, будут пересекать SO в одной точке). Таким образом, существование необходимой точки доказано.

б) По условию трапеция равнобедренная, а по доказанному в пункте а) в нее можно вписать окружность. Поэтому, ее боковые стороны высота а радиус вписанной окружности Значит, площадь трапеции

Теперь вычислим апофемы боковых граней Тогда площадь поверхности

Ответ: б) 468.

а) Так сечение перпендикулярно прямой CD, то оно перпендикулярно основанию цилиндра содержащему эту прямую. Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна Отрезок OH равен Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен

Ответ: б)

Сразу отметим, что в окружности радиуса R расстояние от центра до хорды (то есть до середины хорды) длиной равно Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 5 и 12.

а) Пусть A и — середины хорд, B — проекция на другое основание цилиндра. Тогда поэтому следует выбирать знак , что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.

б) Указанные две плоскости пересекаются по хорде, содержащей точку A, при этом AB перпендикулярна этой хорде, следовательно, и тоже. Поэтому

Ответ: б)