а) Проекция на плоскость — это прямая . (диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Проведем отрезок CD₁ и опустим перпендикуляр CH на BD₁.

Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD₁ с прямым углом C:

Ответ:

а) Пусть — середина ребра — середина ребра По теореме о средней линии треугольника , следовательно, точки лежат в одной плоскости. следовательно, — параллелограмм. Кроме того, а по теореме о трёх перпендикулярах (так как ), поэтому этот параллелограмм — прямоугольник.

б) По доказанному в пункте а), искомое расстояние есть длина отрезка По теореме Пифагора

Тогда откуда

Ответ: 3.

Проведем отрезки CD₁ и AC.

а) Проекция точки на плоскость — точка . Пусть − проекция на . Треугольник прямоугольный с гипотенузой , поэтому .

б) Искомое расстояние равно длине перпендикуляра CH, проведенного к прямой AD₁. Этот перпендикуляр является медианой равностороннего треугольника ACD₁ со стороной

Ответ:

а) Проекция прямой на плоскость это прямая . как диагонали ромба. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Пусть — центр грани Плоскость пересекает плоскость по прямой где — середина отрезка Прямая перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым и Следовательно, плоскости и перпендикулярны. Поэтому расстояние от точки до плоскости равно высоте прямоугольного треугольника

Из условия следует, что

Откуда:

Ответ: 4,8.

а) Пусть — высота треугольника тогда — середина стороны Прямая параллельная плоскости поэтому расстояние от точек и до плоскости равны. Плоскость пересекает плоскость по прямой где — середина отрезка Прямая перпендикулярна плоскости поскольку перпендикулярна прямым и Следовательно, плоскости и перпендикулярны.

б) По доказанному в пункте а) расстояние от точки до плоскости равно высоте прямоугольного треугольника

Из условия следует, что Откуда:

Ответ: 2,4.