Пусть AD = d, BD = x, DC = y. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

Откуда получаем: Аналогично,

Тогда

Возможны два случая:

1. Точка D лежит на отрезке BC. Тогда значит,

2. Точка D лежит вне отрезка BC. Тогда значит,

Ответ: или

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r₁ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 8r₁ = 12 находим, что r₁ = 1,5.

Второй случай. (рис. 2) Пусть AB = BC = 5, CH — высота треугольника ABC, r₂ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Тогда

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

Из равенства получаем, что

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и В этом случаем радиус будет равен

Ответ:

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r₁ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 18r₁ = 60 находим, что

Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

Тогда

Ответ: или

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай. AC = BC = 5. Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB, r₁ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 8r₁ = 12 находим, что

Второй случай. Вершина равнобедренного треугольника — одна из точек A или B. Пусть, для определённости, вершина в точке B. Проведём высоту CH. Если H находится на продолжении стороны AB, то треугольник ABC — тупоугольный. Этот случай противоречит условию. Если H лежит на стороне AB, то из прямоугольного треугольника BHC находим:

Из прямоугольного треугольника ACH находим:

Тогда

Ответ: или

Обозначим AB = x, AC = y, p — полупериметр треугольника ABC. Пусть M и N — середины сторон AB и AC соответственно. Тогда

В трапецию BMNC вписана окружность поэтому

Значит,

По формуле Герона

Отсюда находим, что x = 20 или x = 37.