Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.

Ответ: 153.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.

Ответ: 7.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6 клеток, радиус внутреннего равен 3 клетки. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

Ответ: 3.

Площадь круга определяется по формуле Т. к. из рисунка видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше внутреннего, значит, его площадь в 4 раза больше площади внутреннего круга и равна 136.

Площадь закрашенной фигуры равна разности площади внешнего круга и площади внутреннего и равна 136 − 34 = 102.

Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24.

Ответ:24.

Заметим, что Тогда поэтому Поэтому площадь сектора равна от площади круга. Следовательно, площадь круга равна 3 · 32 = 96.

Ответ:96.

Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого см. Поэтому

см².

Ответ: 12.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, полупериметр равен p, радиус окружности равен R. Тогда

Ответ: 30.

Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда

Ответ: 3.

Выполним дополнительное построение и из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 найдем квадрат радиуса круга: см² (см. рис. 1). Площадь фигуры равна трем восьмым площади этого круга (см. рис. 2). Поэтому

см².

Ответ: 7,5.

Примечание.

В открытом банке это задание и аналогичные ему являются клонами к заданию 27562.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 7x, тогда меньшая равна 5x.

Значит, меньшая дуга окружности равна 150°, а большая — 210°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 105°.

Ответ: 105.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, приведённому в точку касания. Поэтому треугольник AOC прямоугольный. Его острый угол O равен 90° − 28° = 62°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Поэтому он также равен 62°.

Ответ: 62.

Заметим, что DB — диаметр окружности, поэтому дуга AB, не содержащая точки D, равна 180° − 116° = 64°. На эту дугу опирается центральный угол AOB, поэтому он равен 64°. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательным, поэтому треугольник AOC прямоугольный. Тогда

Ответ: 26.

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Поэтому величина меньшей дуги АВ окружности равна 64°. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается, поэтому угол АОВ равен 64°.

Ответ: 64.

Примечание об изменении задания.

Ранее это задание и аналогичные к нему в Открытом банке были формулированы иначе.

Задание.Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, измеряется половиной дуги, заключённой между его сторонами. Значит, искомая величина дуги равна 64°.

Ответ: 64.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу; центральный угол равен дуге, на которую он опирается. Следовательно, треугольник OAC прямоугольный и в нём

Ответ: 26.

Трапеция ABCD — равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.

Ответ: 6.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD, значит,

Ответ: 14.

Заметим, что Значит, , т. к. является центральным углом, опирающимся на ту же хорду. Соответственно, треугольник AOB — равносторонний, так как AO = OB = AB = R = 3.

Ответ: 3.

Применим теорему синусов к треугольнику ABC:

Ответ: 3.

Приведём другое решение.

Вписанный угол дополняет половину центрального угла, опирающегося на ту же хорду, до 180°, значит, По теореме косинусов:

Треугольник АВС равнобедренный, так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, угол ВAC равен 0,5(180° − 122°) = 29°. Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги, поэтому искомая дуга равна 2 · 29° = 58°.

Ответ: 58.

Приведем другое решение.

Пусть искомая длина меньшей дуги АВ равна х, тогда длина большей дуги АВ равна 360° − х. Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине высекаемых ими дуг, откуда имеем: 0,5(360° − 2x) = 122°. Тогда x = 58°.