Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 204. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 204 − 51 = 153.

Ответ: 153.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.

Ответ: 7.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Радиус внешнего круга равен 6 клеток, радиус внутреннего равен 3 клетки. Поскольку радиус большего круга вдвое больше радиуса меньшего круга, площадь большего круга вчетверо больше площади меньшего. Следовательно, она равна 4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 4 − 1 = 3.

Ответ: 3.

Площадь круга определяется по формуле Т. к. из рисунка видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше внутреннего, значит, его площадь в 4 раза больше площади внутреннего круга и равна 136.

Площадь закрашенной фигуры равна разности площади внешнего круга и площади внутреннего и равна 136 − 34 = 102.

Площадь заштрихованного сектора равна половине площади всего круга. Следовательно, его площадь равна 0,5·48 = 24.

Ответ:24.

Заметим, что Тогда поэтому Поэтому площадь сектора равна от площади круга. Следовательно, площадь круга равна 3 · 32 = 96.

Ответ:96.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, полупериметр равен p, радиус окружности равен R. Тогда

Ответ: 30.

Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого см. Поэтому

см².

Ответ: 12.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть боль­шая часть окруж­но­сти равна 7x, тогда мень­шая равна 5x.

Зна­чит, мень­шая дуга окруж­но­сти равна 150°, а боль­шая — 210°. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит, опи­ра­ю­щий­ся на боль­шую дугу угол АCВ равен 105°.

Ответ: 105.

Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, при­ведённому в точку ка­са­ния. По­это­му тре­уголь­ник AOC пря­мо­уголь­ный. Его ост­рый угол O равен 90° − 28° = 62°. Цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. По­это­му он также равен 62°.

Ответ: 62.

Заметим, что DB — диаметр окружности, поэтому дуга AB, не содержащая точки D, равна 180° − 116° = 64°. На эту дугу опирается центральный угол AOB, поэтому он равен 64°. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательным, поэтому треугольник AOC прямоугольный. Тогда

Ответ: 26.

Площадь кольца равна разности площади большого и малого кругов. Радиус большого круга равен 2, а малого — 1, откуда

Ответ: 3.

Выполним дополнительное построение и из прямоугольного треугольника с катетами 2 и 4 найдем квадрат радиуса круга: см² (см. рис. 1). Площадь фигуры равна трем восьмым площади этого круга (см. рис. 2). Поэтому

см².

Ответ: 7,5.

Примечание.

В открытом банке это задание и аналогичные ему являются клонами к заданию 27562.

Трапеция ABCD — равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность.

Ответ: 6.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB + CD = BC + AD, значит,

Ответ: 14.

За­ме­тим, что Зна­чит, , т. к. яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, опи­ра­ю­щим­ся на ту же хорду. Со­от­вет­ствен­но, тре­уголь­ник AOB — рав­но­сто­рон­ний, так как AO = OB = AB = R = 3.

Ответ: 3.

Угол между ка­са­тель­ной и хор­дой равен по­ло­ви­не дуги, за­ключённой между ними. Зна­чит, ис­ко­мая ве­ли­чи­на дуги равна 64°.

Ответ: 64.

За­ме­тим, что DB — диа­метр окруж­но­сти. Тогда точка A делит дугу DB на дуги x и 180° − x. Угол между двумя се­ку­щи­ми равен по­лу­раз­но­сти вы­се­ка­е­мых ими дуг:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, цен­траль­ный угол равен дуге, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, зна­чит, тре­уголь­ник OAC — пря­мо­уголь­ный и

Ответ: 114.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда

Ответ: 2.

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку ABC:

Ответ: 3.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Впи­сан­ный угол до­пол­ня­ет по­ло­ви­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду, до 180°, зна­чит, По тео­ре­ме ко­си­ну­сов: