а) Преобразуем

Заданное уравнение будет равносильным уравнению

Найдем ограничения на

Из последнего неравенства следует, что ни при каких значениях равенство невыполнимо. Следовательно, левая часть исходного уравнения обращается в нуль только при тех значениях при которых выполняется условие В общем случае уравнению удовлетворяют все числа типа Но с учетом ограничений на получим, что

б) При Но уже при корни уравнения выходят за пределы рассматриваемого отрезка. Дальнейшие поиски просто излишни.

Ответ: а) б)

а)

Уравнение

б)

Замечание.

При возведении обеих частей уравнения в квадрат приобретение посторонних решений в нашем случае невозможно, поскольку:

1) мы перешли к смешанной системе что обеспечивает неотрицательность правой части уравнения

2) также обеспечивается неотрицательность подкоренного выражения, находящегося в левой части уравнения в силу неотрицательности правой части равенства, т. е. выражения

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

Покажем, что решения уравнения не удовлетворяют исходному уравнению, в котором должно выполняться условие:

Если то    что не выполнимо ни при каких значениях

«Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и Проверим их пригодность для исходного уравнения поочередно, руководствуясь тем, что логарифм по допустимому основанию существует лишь для положительных чисел.

Заметим, что наименьший положительный период функции есть число (как наименьшее общее кратное положительных периодов слагаемых функций: для функции — это для функции — число ). Следовательно, в дополнительной проверке нуждаются решения, соответствующие четным и нечетным значениям

Если то Ясно, что

Если то

Но Следовательно, при нечетных числа вида не могут быть решениями исходного уравнения.

Отсюда и выводы:

— решения уравнения-следствия, представляемые числами вида лишь при четных значениях могут быть решениями исходного уравнения;

— поскольку наименьший положительный период функции также равен а серия корней получена из равенства то при значениях также будет обеспечено выполнение условия

Исследование этой серии корней проводится аналогично с тем, как это было сделано для серии корней Однако при этом все решения уравнения-следствия окажутся подходящими и для исходного уравнения. Докажем это.

Если то

Если то

А Т. е.

б) Нетрудно заметить, что на отрезке лежит единственный корень

Замечания:

1. Символ в записи «» означает, что уравнение является следствием уравнения у которого множество решений, быть может, шире, нежели у уравнения — посылки; расширение множества решений в нашем случае могло произойти только за счет расширения множества значений переменной, на котором оно (уравнение) может рассматриваться. Потому потребовалась проверка пригодности найденных решений и отсеивание посторонних.

2. Предложение ««Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и » не следует рассматривать как некорректность применения союза «и». В контексте приведенного предложения союз «и» играет всего лишь роль союза, применяемого между однородными членами предложения; здесь союз «и» не может служить логической связкой, образующей некую конъюнкцию двух элементарных высказываний (предикатов), впрочем, которой здесь и нет.

Ответ: а) б)

a) Преобразуем уравнение:

Если то

Докажем, что корни уравнения противоречат условию Действительно, однако,

Однако, при таких значениях

Если же то

Поскольку то мы вправе разделить обе части последнего уравнения на Получим:

Но при таких значениях что противоречит условию Таким образом, решениями заданного уравнения являются числа вида Заданному промежутку принадлежат лишь два корня: и

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б)

Замечания.

1. В решении заданного уравнения при переходе от уравнения к системе мы учли ограничения на значения переменной У недостаточно опытного ученика может возникнуть вопрос: а почему при этом мы не учитываем еще одного условия: Ответим на этот вопрос так: в этом нет никакой надобности. Во-первых, условие уже обеспечивает неотрицательность левой части уравнения. поскольку это так, то при дальнейших преобразованиях уравнения будет обеспечена неотрицательность и правой части этого же уравнения. Во-вторых, при неотрицательных значениях правой части будет выполнена и неотрицательность выражения Включение в систему обоих условий: и привело бы к неоправданному усложнению самого процесса решения.

2. Преобразование уравнения в уравнение произведено с целью дальнейшего его преобразования в квадратное уравнение относительно выражение мы заменим выражением

Ответ: а) б)

а) Ограничения на Решением этого неравенства заниматься мы не будем, проверку корней получаемого уравнения-следствия сделаем в конце решения, подставляя полученные значения в знаменатель левой части уравнения.

Приравняем к нулю числитель и решим уравнение-следствие.

Мы получили корни уравнения-следствия. Возможно, что некоторые из них не подойдут, если они не удовлетворяют ограничениям, указанным выше. Проверим.

При Итак, числа вида корнями уравнения не являются.

Если то

Пусть Тогда

Если же то

Искомыми корнями являются числа вида:

б) На числовой оси отрезок получается из отрезка сдвигом его вправо на единиц. На отрезке обнаруживается единственный корень уравнения: Следовательно, искомым корнем будет

Ответ: а) б)

а) Правая часть заданного уравнения — ограниченная функция: Следовательно, такие же ограничения следует наложить и на левую его часть. То есть

Функция косинус также ограничена и не принимает значений, меньших −1, поэтому Но тогда левая часть уравнения равна а исходное уравнение принимает вид

Решим полученные уравнения:

Найдем значения x, при которых найденные серии решений и совпадут. Для этого найдем их значения, принадлежащие промежутку

Из серии при при при при

Из серии при при ; при при

Тем самым, общие решения обоих уравнений, имеют вид

б) Чтобы отобрать корни, решим двойное неравенство на множестве целых чисел:

При найденных m получим:

Ответ:а) б)

а) Ограничения на

Решим уравнение

Уравнение корней не имеет.

Теперь решим уравнение

Решения заданного уравнения — числа вида

б) Искомые корни получим с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

а) Рассмотрим уравнение

Заметим, что при При таком значении выражение теряет смысл. А при выражение имеет значение равное

Заметим также, что при и исходное уравнение смысла не имеет.

Теперь рассмотрим уравнение

Однако при получим: при котором уравнение смысла не имеет, как это было показано выше.

Следовательно, решения заданного уравнения:

б) Заметим, что корень уравнения, равный 3, принадлежит заданному отрезку. Для нахождения других искомых корней решим двойное неравенство относительно целого n при условии, что

При при при

Ответ: а) б)

Решение 1.

а) Ограничение на т. е.

Заданное уравнение будем рассматривать только на множестве, элементы которого удовлетворяют неравенствам, указанным выше.

Уравнение решений не имеет.

б) Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

Решение 2.

а) Случай 1.

Случай 2. откуда или (что невозможно). Тогда причем откуда

б) отрезку принадлежат точки

Ответ а) б)

а) Последовательно получаем:

Уравнение решений не имеет.

Мы в самом же начале решения переходили к уравнению-следствию, возводя обе части исходного уравнения в квадрат. А это значит, что мы могли получить посторонние решения, обращающие правую часть заданного уравнения в отрицательное число. Чтобы этого не случилось, потребуем, чтобы выполнялось условие

Нетрудно понять, что все полученные нами значения х будут принадлежать первой и третьей координатным четвертям. В первой четверти условие выполняется.

Но в третьей четверти и синус, и косинус отрицательны. Следовательно, условие там невыполнимо. Отсюда вывод: искомыми корнями будут лишь числа вида и

б) Выборку корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а) б)

А) Найдем ограничения на x. Отсюда ясно, что искомые решения неравенства принадлежат второй четверти.

Для таких x:

С учетом полученных ограничений на x: исходному уравнению удовлетворяют числа вида

Б) Ни один корень уравнения не принадлежит отрезку Докажем это.

На единичной окружности выделен отрезок

Заметим, что и начало отрезка, точка и его конец, точка принадлежат второй четверти.

Предположим, что при некотором целочисленном значении n во второй четверти найдется число, синус которого принадлежит либо промежутку либо промежутку

Однако такого числа нет, так как

Докажем это:

Ответ: А) Б) Таких корней нет.

Решение 1.

1. Рассмотрим случай:

а) левая часть уравнения имеет смысл при строгом совпадении знаков синуса и косинуса, а такой случай возможен только лишь в первой и третьей четвертях.

б) из-за неотрицательности правой части уравнения (его левая часть арифметический квадратный корень) потребуем:

Таким образом, первая четверть из дальнейшего рассмотрения исключается. Значит, ; ;

2. Пусть Тогда и левая, и правая части уравнения обратятся в нуль. Следовательно, числа вида и есть корни исходного уравнения.

3. Если то левая часть уравнения обратится в нуль. Однако при правая часть примет значение: либо ?1, либо 1. Равенство обеих частей невыполнимо.

Объединим полученные результаты. или

б) Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а)

Решение 2.

а) Возведем уравнение в квадрат, не забывая о том, что

Либо либо (набор не удовлетворяет условию ).

б) На указанный отрезок попадают

Ответ а) б)

а) Если то эти числа подходят.

Если то уравнение равносильно Его корнями являются и первый из которых не удовлетворяет условию Второй подходит.

Если то уравнение равносильно У него нет корней.

б) На указанном отрезке лежат корни

Ответ: а) б)

а) Сделаем замену Уравнение примет вид откуда или Уравнение дает что невозможно. Уравнение дает откуда

б) На указанном промежутке лежит Поскольку

Числа из второй серии решений не принадлежат заданному отрезку.

Ответ: а) б)

а) Запишем исходное уравнение в виде: Заметим, что выражение, стоящее под знаком логарифма, приравнено к положительному числу, поэтому исследовать ОДЗ не требуется.

Для решения полученного тригонометрического уравнения используем формулу синуса двойного угла откуда получаем откуда или

Из уравнения находим: или

Из уравнения находим:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:

Ответ: а) б)

а) Перепишем уравнение в виде:

Домножая обе части на получим:

В первом случае и изначальное уравнение не определено. Во втором случае получаем или

б) С помощью тригонометрического круга отберем корни:

Ответ а) б)

а) Для того, чтобы уравнение было определено, необходимо и достаточно , чтобы Тогда останется решить уравнение:

Первое дает (второе семейство ответов не удовлетворяет условию ), второе дает

б) С помощью тригонометрического круга отберем корни. Получим:

Ответ: а) б)

а) Решим сначала уравнение Получим Такие корни запрещены для числителя.

Теперь решим уравнение

Поэтому ответы такие —

б)На указанном отрезке лежит

Ответ: а) б)

а) Перепишем уравнение в виде

откуда

б) На указанном промежутке лежит

Ответ: а) б)