а)

Уравнение

б)

Замечание.

При возведении обеих частей уравнения в квадрат приобретение посторонних решений в нашем случае невозможно, поскольку:

1) мы перешли к смешанной системе что обеспечивает неотрицательность правой части уравнения

2) также обеспечивается неотрицательность подкоренного выражения, находящегося в левой части уравнения в силу неотрицательности правой части равенства, т. е. выражения

Ответ: а) б)

а) Преобразуем

Заданное уравнение будет равносильным уравнению

Найдем ограничения на

Из последнего неравенства следует, что ни при каких значениях равенство невыполнимо. Следовательно, левая часть исходного уравнения обращается в нуль только при тех значениях при которых выполняется условие В общем случае уравнению удовлетворяют все числа типа Но с учетом ограничений на получим, что

б) При Но уже при корни уравнения выходят за пределы рассматриваемого отрезка. Дальнейшие поиски просто излишни.

Ответ: а) б)

а) Последовательно получаем:

Покажем, что решения уравнения не удовлетворяют исходному уравнению, в котором должно выполняться условие:

Если то    что не выполнимо ни при каких значениях

«Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и Проверим их пригодность для исходного уравнения поочередно, руководствуясь тем, что логарифм по допустимому основанию существует лишь для положительных чисел.

Заметим, что наименьший положительный период функции есть число (как наименьшее общее кратное положительных периодов слагаемых функций: для функции — это для функции — число ). Следовательно, в дополнительной проверке нуждаются решения, соответствующие четным и нечетным значениям

Если то Ясно, что

Если то

Но Следовательно, при нечетных числа вида не могут быть решениями исходного уравнения.

Отсюда и выводы:

— решения уравнения-следствия, представляемые числами вида лишь при четных значениях могут быть решениями исходного уравнения;

— поскольку наименьший положительный период функции также равен а серия корней получена из равенства то при значениях также будет обеспечено выполнение условия

Исследование этой серии корней проводится аналогично с тем, как это было сделано для серии корней Однако при этом все решения уравнения-следствия окажутся подходящими и для исходного уравнения. Докажем это.

Если то

Если то

А Т. е.

б) Нетрудно заметить, что на отрезке лежит единственный корень

Замечания:

1. Символ в записи «» означает, что уравнение является следствием уравнения у которого множество решений, быть может, шире, нежели у уравнения — посылки; расширение множества решений в нашем случае могло произойти только за счет расширения множества значений переменной, на котором оно (уравнение) может рассматриваться. Потому потребовалась проверка пригодности найденных решений и отсеивание посторонних.

2. Предложение ««Претендентами» на решения заданного уравнения остаются числа вида: и » не следует рассматривать как некорректность применения союза «и». В контексте приведенного предложения союз «и» играет всего лишь роль союза, применяемого между однородными членами предложения; здесь союз «и» не может служить логической связкой, образующей некую конъюнкцию двух элементарных высказываний (предикатов), впрочем, которой здесь и нет.

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение:

б)

Замечания.

1. В решении заданного уравнения при переходе от уравнения к системе мы учли ограничения на значения переменной У недостаточно опытного ученика может возникнуть вопрос: а почему при этом мы не учитываем еще одного условия: Ответим на этот вопрос так: в этом нет никакой надобности. Во-первых, условие уже обеспечивает неотрицательность левой части уравнения. поскольку это так, то при дальнейших преобразованиях уравнения будет обеспечена неотрицательность и правой части этого же уравнения. Во-вторых, при неотрицательных значениях правой части будет выполнена и неотрицательность выражения Включение в систему обоих условий: и привело бы к неоправданному усложнению самого процесса решения.

2. Преобразование уравнения в уравнение произведено с целью дальнейшего его преобразования в квадратное уравнение относительно выражение мы заменим выражением

Ответ: а) б)

а) Ограничения на Решением этого неравенства заниматься мы не будем, проверку корней получаемого уравнения-следствия сделаем в конце решения, подставляя полученные значения в знаменатель левой части уравнения.

Приравняем к нулю числитель и решим уравнение-следствие.

Мы получили корни уравнения-следствия. Возможно, что некоторые из них не подойдут, если они не удовлетворяют ограничениям, указанным выше. Проверим.

При Итак, числа вида корнями уравнения не являются.

Если то

Пусть Тогда

Если же то

Искомыми корнями являются числа вида:

б) На числовой оси отрезок получается из отрезка сдвигом его вправо на единиц. На отрезке обнаруживается единственный корень уравнения: Следовательно, искомым корнем будет

Ответ: а) б)

а) Рассмотрим уравнение

Заметим, что при При таком значении выражение теряет смысл. А при выражение имеет значение равное

Заметим также, что при и исходное уравнение смысла не имеет.

Теперь рассмотрим уравнение

Однако при получим: при котором уравнение смысла не имеет, как это было показано выше.

Следовательно, решения заданного уравнения:

б) Заметим, что корень уравнения, равный 3, принадлежит заданному отрезку. Для нахождения других искомых корней решим двойное неравенство относительно целого n при условии, что

При при при

Ответ: а) б)

Решение 1.

1. Рассмотрим случай:

а) левая часть уравнения имеет смысл при строгом совпадении знаков синуса и косинуса, а такой случай возможен только лишь в первой и третьей четвертях.

б) из-за неотрицательности правой части уравнения (его левая часть арифметический квадратный корень) потребуем:

Таким образом, первая четверть из дальнейшего рассмотрения исключается. Значит, ; ;

2. Пусть Тогда и левая, и правая части уравнения обратятся в нуль. Следовательно, числа вида и есть корни исходного уравнения.

3. Если то левая часть уравнения обратится в нуль. Однако при правая часть примет значение: либо ?1, либо 1. Равенство обеих частей невыполнимо.

Объединим полученные результаты. или

б) Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.

Ответ: а)

Решение 2.

а) Возведем уравнение в квадрат, не забывая о том, что

Либо либо (набор не удовлетворяет условию ).

б) На указанный отрезок попадают

Ответ а) б)

а) За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде: За­ме­тим, что вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком ло­га­риф­ма, при­рав­не­но к по­ло­жи­тель­но­му числу, по­это­му ис­сле­до­вать ОДЗ не тре­бу­ет­ся.

Для ре­ше­ния по­лу­чен­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го урав­не­ния ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла от­ку­да по­лу­ча­ем от­ку­да или

Из урав­не­ния на­хо­дим: или

Из урав­не­ния на­хо­дим:

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

а) Для того, чтобы урав­не­ние было опре­де­ле­но, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но , чтобы Тогда оста­нет­ся ре­шить урав­не­ние:

Пер­вое дает (вто­рое се­мей­ство от­ве­тов не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию ), вто­рое дает

б) С по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ско­го круга от­бе­рем корни. По­лу­чим:

Ответ: а) б)

Левая часть урав­не­ния имеет смысл при

Если , то , от­ку­да

Если , то , от­ку­да или

Урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Урав­не­ние имеет корни Учи­ты­вая, что , по­лу­ча­ем:

Ответ:

а) Из дан­но­го урав­не­ния по­лу­ча­ем:

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

а) Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

а) За­пи­шем урав­не­ние в виде

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

а) Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние за­пи­шет­ся в виде

При по­лу­чим: 

При по­лу­чим: 

б) С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни при­над­л­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

а) Найдем ограничения на

Для таких

Корнями уравнения являются числа и которые принадлежат интервалу .

Теперь решим уравнение

С учетом ограничений на

Из серии полученных решений единственное число 0 принадлежит интервалу При значениях равных значения окажутся за границами интервала

Из серии решений не найдется ни единого значения переменной на интервале так как даже при Аналогично Итак, общими решениями заданного уравнения являются числа:

б) Ясно, что Значит, искомыми корнями являются числа: 0 и

Ответ: а) б)

а) Решим уравнение

б) Серии и задают корни, расположенные в первой четверти. Из них в промежутке окажутся лишь два корня: и

а) Выражение имеет смысл, если выполнены следующие условия: Но в нашем случае по определению логарифма также должно выполняться условие Следовательно, для нахождения ограничений на достаточно проверить выполнение двух условий: и

Из первого неравенства получим следующую необходимую информацию: А проверку выполнения второго неравенства отложим до завершающего этапа наших исследований.

Решим уравнение:

Выше выявлено, что следовательно, нам предстоит решить только уравнение Его решения известны:

Теперь проверим выполнение неравенства для каждой из полученных серий решений.

При Таким образом, серия корней — серия посторонних корней.

Если то

Итак, множество корней заданного уравнения имеет вид:

б) Выборка корней:

Решения последнего неравенство в целых числах:

При искомый корень равен

Ответ: а) б)

a) Преобразуем уравнение:

Если то

Докажем, что корни уравнения противоречат условию Действительно, однако,

Однако, при таких значениях

Если же то

Поскольку то мы вправе разделить обе части последнего уравнения на Получим:

Но при таких значениях что противоречит условию Таким образом, решениями заданного уравнения являются числа вида Заданному промежутку принадлежат лишь два корня: и

Ответ: а) б)

а)

Мы получили две серии корней: и Обратим внимание на то, что среди них имеются совпадающие корни, например, при и обращаются в нуль, при выполняется равенство при и т. д. В принципе мы могли бы полученные серии корней оставить такими, какие они есть.

А что значит, решить уравнение? Решить уравнение — значит, найти множество его корней. (Правда, это множество может оказаться и пустым!)

При этом будем иметь в виду, что Это — бесспорно! Однако наш ответ к задаче будет выглядеть более привлекательным, если мы все же пойдем несколько иным путем: постараемся выразить множество решений уравнения через непересекающиеся множества. С этой целью отметим кружочком на единичной окружности все точки, соответствующие серии корней а крестиком — точки, соответствующие серии корней

Тогда нам легко удастся выделить три серии корней, которые общих элементов не имеют. Такими будут числа вида: и

б) Отбор искомых корней с помощью единичной окружности в данном случае будет несколько неудобным из-за большого количества корней, принадлежащих заданному отрезку. (Их всего окажется 16). Поэтому отдадим предпочтение другому способу — перебору различных целых значений для каждой серии решений.

Найдем значение при котором Ясно, что таким значением будет −6. Аналогично найдем минимальные значения n, для которых верны неравенства:

Таким значением для обоих последних серий будет число −3.

Полученные результаты занесем в таблицу.

Ответ: а) б) 0.

а) Правая часть заданного уравнения — ограниченная функция: Следовательно, такие же ограничения следует наложить и на левую его часть. То есть

Функция косинус также ограничена и не принимает значений, меньших −1, поэтому Но тогда левая часть уравнения равна а исходное уравнение принимает вид

Решим полученные уравнения:

Найдем значения x, при которых найденные серии решений и совпадут. Для этого найдем их значения, принадлежащие промежутку

Из серии при при при при

Из серии при при ; при при

Тем самым, общие решения обоих уравнений, имеют вид

б) Чтобы отобрать корни, решим двойное неравенство на множестве целых чисел:

При найденных m получим:

Ответ:а) б)