Отрезки D₁E₁, DE и AB лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми FA и E₁D₁ равен углу между прямыми FA и AB.

Поскольку угол FAB между сторонами правильного шестиугольника равен 120°, смежный с ним угол между прямыми FA и AB равен 60°.

Ответ:60.

В силу параллельности прямых AB и E₁D₁, угол между FA и E₁D₁ равен углу между прямыми FA и AB. Угол FAB между смежными сторонами правильного шестиугольника равен 120°. Значит, угол между прямыми FA и AB равен углу, смежному с углом FAB, т. е. 60°.

а) Проекция точки S на плоскость основания конуса точка O — центр его основания. Так как OM BC по теореме о трех перпендикулярах SM BC и угол между SM и ABC равен углу SMO. Этот же угол является углом между прямой OM и плоскостью SBC. Угол между прямой AB и SBC такой же, так как прямые OM и AB параллельны.

б) Обозначим искомый угол тогда

где h — расстояние от точки A до плоскости SBC. Так как O — середина AC, расстояние от точки O до плоскости SBC равно Это расстояние — высота OT прямоугольного треугольника SOM, таким образом,

поэтому

Следовательно,

Ответ: б)

Отрезки A₁A и BB₁ лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A₁A и BC₁ равен углу между прямыми BB₁ и BC₁.

Боковая грань CBB₁C₁ — квадрат, поэтому угол между его стороной и диагональю равен 45°.

Ответ: 45.

а) Отрезок MN — средняя линяя треугольника ASB, так как он проходит через середину стороны AS параллельно стороне BS. Поэтому точка N — середина AB, и тогда отрезки ON и AB перпендикулярны, поскольку отрезок ON лежит на диаметре основания конуса, а диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Таким образом, угол ANO прямой.

б) Проведём в плоскости SOA отрезок MH параллельно SO, тогда MH — средняя линия треугольника SOA:

Прямая MH перпендикулярна основанию конуса, следовательно, BH — проекция MB на плоскость BOA, а тогда угол между MB и плоскостью основания это угол MBH. Заметим, что BH — медиана треугольника OBA и воспользуемся формулой для длины медианы:

Тем самым, треугольник прямоугольный и равнобедренный, поэтому угол MBH равен 45°.

Ответ: б) 45°.

Допустим Тогда апофема грани равна а угол между боковым ребром и основанием можно найти из треугольника SAO, где O — центр основания. Тогда и, значит, По условию тангенс этого угла равен поэтому косинус равен Итак, откуда Подставляя это выражение в уравнение про апофему, получим Тогда сторона основания 2 и высота пирамиды

а) Отметим точку M — середину EF. Она лежит на AO и делит его в отношении то есть Рассмотрим плоскость ASC и обозначим за P точку пересечения MK и SO. По теореме Менелая для треугольника CSO и прямой KPM имеем откуда Проведем теперь через точку P прямую, параллельную BD (а следовательно и EF). Она пересечет ребра SD и SB в точках U и V соответственно, таких что Пятиугольник  — сечение.

По теореме Менелая для треугольника CMK и прямой OPS имеем откуда Поскольку проекция MK на плоскость основания — прямая прямая AC перпендикулярна прямой EF, то и прямая MK перпендикулярна прямой EF. Если опустить перпендикуляр KT на OC, то треугольники CKT и CSO будут подобны, поэтому

откуда и

Кроме того, Поэтому

Наконец,

б) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по AB, AD и перпендикуляру к плоскости основания соответственно. Тогда точки будут иметь следующие координаты — Точка K делит SC в отношении поэтому ее координаты будут Найдем уравнение плоскости EFK. Пусть оно имеет вид Подставляя координаты точек, получим три уравнения:

Возьмем тогда из первых двух уравнений а тогда из последнего Итак, ее уравнение

Найдем теперь угол между этой плоскостью и вектором :

Ответ: а) б)

Имеем: поэтому Далее,

а) Пусть  — середина KC, тогда  — средняя линия треугольника CSK и прямая параллельна прямой SK. Далее:

Прямая BM — медиана треугольника CSB. По формуле для медианы получим:

Из прямоугольного треугольника имеем:

Наконец, SK — высота равнобедренного треугольника SDC, поэтому:

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника

откуда Поскольку угол между прямыми не может быть тупым, мы нашли угол между неподходящими их лучами. Настоящий ответ:

б) Имеем:

Ответ: а) б)

а) Пусть отрезок  — средняя линия треугольника параллельная его стороне (см. рисунок).

Поскольку  — правильная пирамида, точка  — центр квадрата Так как и то а, значит, Прямые и параллельны, следовательно, угол между прямыми и равен углу между прямыми и то есть острому углу прямоугольного треугольника

б) Примем длину ребра данной пирамиды за тогда и, следовательно,

Ответ:

а) Проекция прямой на плоскость основания − это прямая . В правильном шестиугольнике диагонали и перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен углу между прямыми OC₁ и BC₁.

В треугольнике OBC₁ OB = 1, BC₁=OC₁=

Из теоремы косинусов получаем

Косинус положителен, значит, - острый, значит, это искомый угол угол между прямыми

Ответ: 0,75.

а) Прямые ВС₁ и AD₁ параллельны, поэтому угол между прямыми АС и ВС₁ равен углу CAD₁. Треугольник CAD₁ равносторонний, поэтому все его углы равны 60°.

б) Заметим, что прямые АС и ВС₁ содержатся в параллельных плоскостях ACD₁ и BC₁A₁. Значит, искомое расстояние равно расстоянию между этими плоскостями.

Обозначим центры треугольников ACD₁ и BC₁A₁ через точки О и О₁ соответственно. Точка D равноудалена от вершин треугольника ACD₁, поэтому проекция точки D на плоскость ACD₁ совпадает с О. Аналогично проекция точки D на плоскость BC₁A₁ совпадает с О₁, а проекции точки В₁ на плоскости ACD₁ и BC₁A₁ также совпадают с точками О и О₁ соответственно. Значит, прямая DB₁ перпендикулярна плоскостям ACD₁ и BC₁A₁ и содержит точки О и О₁.

Объем тетраэдра DACD₁ равен 36, а площадь его основания . Значит, высота . Аналогично . Кроме того, . Значит, .

Ответ: б)

а) Проекция прямой AC' на плоскость ABC − прямая AC. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и BE перпендикулярны. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, .

б) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:

Плоскость проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид Для координат точек и имеем систему уравнений:

Не теряя общности, положим тогда Уравнение плоскости : вектор нормали к ней Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен

Ответ:

Приведем другое решение пункта б).

Заметим, в силу того, что и значит, плоскость содержит прямую следовательно, и — проекция Следовательно, — искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией

Рассмотрим прямоугольный

(т. к. — диагональ квадрата )

Ответ:

а) Построим прямые такие что: тогда искомое сечение параллелограмм Покажем, что прямоугольник:

б) Заметим, что и — середина тогда — средняя линия треугольника Значит, аналогично Так как прямоугольник, получаем:

Пусть прямая пересекает прямую в точке тогда:

Заметим, что (чтобы косинус в ответе получился положительным, а полученный угол —острым). Применим теорему косинусов в треугольнике

Откуда

Ответ:

Идея окончания решения Игоря Калинкина.

Можно найти площадь сечения, перемножив стороны прямоугольника и приравнять полученное произведение к формуле площади параллелограмма через диагонали (, где α — угол между диагоналями). Выразив отсюда синус угла между диагоналями и найдя арксинус, получим

Идея окончания решения Марины Максимовской.

Рассмотрим равнобедренный треугольник МОЕ, проведём высоту к МЕ. В получившемся прямоугольном треугольнике выразим тангенс половины нужного угла. Половина нужного угла получится тогда весь угол —

а) Поскольку

б) Пусть — середина , тогда угол между прямой и плоскостью грани равен углу между этой плоскостью и прямой .

Обозначим через перпендикуляр, опущенный на . Прямая перпендикулярна плоскости грани , поскольку она перпендикулярна прямым и . Поэтому искомый угол равен углу .

В прямоугольном треугольнике :

откуда

Ответ: б) 30.

а) Пусть — образующая цилиндра. Тогда — прямоугольник, поэтому угол между прямыми и равен углу .

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая , параллельная прямой перпендикулярная прямым и . Таким образом, прямая перпендикулярна плоскости , а значит, угол прямой.

В прямоугольном треугольнике :

Значит, .

б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра равна

Следовательно, объём цилиндра равен

Ответ: б)

а) Пусть — образующая цилиндра. Тогда — прямоугольник, поэтому угол между прямыми и равен углу .

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая , параллельная прямой , перпендикулярная прямым и . Таким образом, прямая перпендикулярна плоскости , а значит, угол прямой.

В прямоугольном треугольнике :

б) Наклонная C₁B перпендикулярна прямой AB по теореме о трёх перпендикулярах. Тогда треугольник АВС₁ прямоугольный, а искомое расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины прямого угла треугольника ABC₁ к гипотенузе АС₁. Она равна

Ответ:

Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными вдоль AC, AD и перпендикуляра к плоскости ACD. За единицу длины выберем длину поскольку ADC — прямоугольный треугольник с углом 45°. По условию, прямая AB перпендикулярна прямой CD, поэтому и проекция AB на плоскость ACD перпендикулярна CD. Значит, проекция точки B лежит на биссектрисе угла DAC, поэтому координаты B по x и y равны. Пусть  — координаты этой точки. Координаты остальных вершин таковы — По условию, то есть Найдем уравнение плоскости ABC. Допустим оно имеет вид Подставляя координаты точек, получим

Из первых двух уравнений следует для последнего уравнения можно взять Итак, уравнение плоскости Вектор имеет координаты Посчитаем угол между прямой и плоскостью. Имеем:

Это уравнение сводится к откуда Тогда

откуда

Первый вариант дает точку A, а вовсе не B. Тогда но мы можем считать, что изначально поместив пирамиду в верхнее полупространство.

a) Найдем уравнение грани BCD. Допустим оно имеет вид Подставляя координаты точек, получим

Возьмем тогда из последних двух уравнений и тогда из первого Итак, уравнение плоскости BCD имеет вид Середина AB имеет координаты Расстояние от нее до плоскости ACD равно ее z-координате, то есть Вычислим расстояние до BCD:

что и требовалось доказать.

б) Вектор сонаправлен вектору поэтому нужно посчитать угол между этим вектором и плоскостью

Ответ: б)

а) Пусть отрезок  — высота пирамиды отрезок  — средняя линия треугольника (см. рисунок).

Поскольку  — правильная пирамида, точка  — центр квадрата значит, и откуда Но, следовательно, Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Таким образом, утверждение задачи доказано.

б) Прямая  — проекция прямой на плоскость значит, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и прямой то есть острому углу прямоугольного треугольника

Примем длину ребра данной пирамиды за тогда медиана равностороннего треугольника и, следовательно,

Ответ:

а) Примем ребро куба за Тогда Проведём через точку прямую, параллельную Она пересекает продолжение ребра в точке причём Искомый угол равен углу (или смежному с ним).

б) В прямоугольном треугольнике с прямым углом имеем:

В прямоугольном треугольнике с прямым углом имеем:

В треугольнике по теореме косинусов получаем:

откуда а тогда

Ответ:

Примечание.

Ответ может быть представлен и в другом виде:

Решение:

Координатно-векторный способ.

Пусть ребро куба равно 2.

Введем декартову систему координат, как показано на рис.

Найдем координаты необходимых точек:

Если — искомый угол, то:

Элементарно-геометрический подход.

Угол между заданной плоскостью и ребром будет равен углу между прямой , перпендикулярной к плоскости, и прямой PE, перпендикулярной к ребру

Треугольник — прямоугольный, к тому же равнобедренный. Следовательно,

Ответ:

а) Поскольку проекция прямой на плоскость ABCD — прямая , то и Аналогично (надо рассмотреть плоскость ). Значит, перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости , поэтому

б) Будем считать, что ребро куба имеет длину 1. Очевидно, в обеих плоскостях лежит точка B, поэтому прямая пересечения у этих плоскостей Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников и ) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем ,

Напишем теперь теорему косинусов для треугольника ACH.

, откуда, а угол между плоскостями — 

Ответ: