Пусть луч BO пересекает сторону AC в точке D. Введем следующие обозначения: ∠BCO = ∠DCO = α, ∠COP = x. Прямые OC и QP параллельны, а углы COP и OPQ ― накрест лежащие при пересечении прямых PQ и OC секущей OP, следовательно, ∠OPQ = x. Далее, из прямоугольного треугольника OPC находим , а из равнобедренного треугольника OPQ находим ∠POQ = π − 2x = 2α. Таким образом, треугольники BOP и BCD подобны, и, значит, биссектриса BD треугольника ABC является его высотой, откуда следует, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

б) Отрезок CO ― биссектриса треугольника BCD, следовательно:

откуда BC = 3DC = 3a.

Далее CP = DC = a, значит, BP = 2a и, следовательно, Откуда

следовательно

По формуле Герона находим: Значит,

Ответ:

Приведем решение пункта б) Данила Касьяненко.

По условию , тогда , так как Проведем через точку Q прямую, параллельную прямой АС, пусть она пересечет сторону ВС в точке N. Тогда QN — средняя линия треугольника BDC, поэтому а По свойству касательных и , тогда

Из прямоугольного треугольника найдем BQ:

Проведем QT перпендикулярно CB. Из прямоугольного треугольника найдем QT:

Найдем площадь треугольника BQP:

1. Решим эту задачу для случая, когда ABC — остроугольный треугольник.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Поэтому, треугольник ABC подобен треугольнику BDE. Коэффициентом подобия этих треугольников является По теореме Пифагора из треугольника BEC

По теореме косинусов из треугольника ABC

2. Решим эту задачу для случая, когда угол B тупой. Пусть P — точка пересечения его высот.

В остроугольном треугольнике ACH прямые AE и CD являются высотами, следовательно, по свойствам высоты остроугольного треугольника, треугольники ACP и EDP являются подобными с коэффициентом подобия Из прямоугольного треугольника AEP

Треугольники AEP и ABD подобны по двум углам, потому что они имеют общий угол A и оба прямоугольные. Следовательно, ∠P = ∠ABD, ∠ABC = 180° − ∠ABD.

По теореме косинусов из треугольника ABC

Ответ:

а) Пусть O — отличная от A₁ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁ и A₁BC₁ (рис. 1).

Тогда

откуда

Значит, следовательно, точки A, B₁, O и C₁ лежат на одной окружности.

б) Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры окружностей, описанных около треугольников B₁AC₁, A₁BC₁ и A₁CB₁ соответственно (рис. 2). Заметим, что как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO₁C₁ и C₁O₂B равны. Кроме того, треугольник O₂C₁O₁ также равен этим треугольникам, поскольку

Таким образом, Аналогично, поэтому треугольник O₁O₂O₃ подобен треугольнику ABC с коэффициентом и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис. 3). Тогда площадь треугольника ABC

C другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна поэтому Значит, r = 3. Искомый радиус равен

Ответ: 1,5.

а) Пусть O — отличная от A₁ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁ и A₁BC₁ (рис. 1).

Тогда

откуда

Значит, следовательно, точки A, B₁, O и C₁ лежат на одной окружности.

б) Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры окружностей, описанных около треугольников B₁AC₁, A₁BC₁ и A₁CB₁ соответственно (рис. 2). Заметим, что как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO₁C₁ и C₁O₂B равны. Кроме того, треугольник O₂C₁O₁ также равен этим треугольникам, поскольку

Таким образом, Аналогично, поэтому треугольник O₁O₂O₃ подобен треугольнику ABC с коэффициентом и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис. 3). Тогда площадь треугольника ABC равна

C другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна поэтому площадь треугольника ABC равна 60. Значит, r = 2,4. Искомый радиус равен

Ответ: 1,2.

а) Пусть CO пересекает AB в точке F, OB₁ пересекает AB в точке E, CO пересекает BB₁ в точке G, а углы A, B и C соответственно α, β и γ. Покажем, что отрезок AB₁ виден из точек O и B под одним и тем же углом — это будет означать, что точки A, B₁, B, O лежат на одной окружности.

В треугольнике CGB имеем:

Тогда

В треугольнике OGB имеем: тогда

Треугольник B₁OB равнобедренный, так как GO — серединный перпендикуляр к BB₁. Поэтому

В треугольнике ABC точка O — инцентр, поэтому Следовательно,

б) Площадь четырехугольника AOBB₁ найдем по формуле Заметим, что B₁O = OB, так как треугольник B₁OB равнобедренный, и что из треугольника EOB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в нем Далее опустим перпендикуляр OH на сторону BC. Тогда как радиус вписанной окружности. Тогда откуда

Далее имеем:

Тогда

Ответ: б) 18.

Приведем другое решение.

а) Пусть CO пересекает BB₁ в точке G, а угол C равен γ. В треугольнике B₁CB отрезок CG является высотой и медианой, тогда треугольник B₁CB равнобедренный, отрезок CG является биссектрисой, следовательно, луч CB₁ совпадает с лучом CA, и точка A лежит на отрезке CB₁. В треугольнике CGB₁ имеем:

В треугольнике ABC точка O — инцентр, поэтому

Следовательно, в четырехугольнике B₁AOB имеем:

а потому четырехугольник B₁AOB — вписанный, и точки B₁, A, O, B лежат на одной окружности.

б) Площадь четырехугольника AOBB₁ найдем как сумму площадей треугольников: Причём где r — радиус окружности, вписанный в треугольник ABC. Для сторон треугольника ABC выполнено соотношение следовательно, угол C прямой. Тогда

откуда

Площадь треугольника ABB₁ найдем как разность площадей треугольников BCB₁ и ABC:

В результате получим

Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом поэтому AT = 3CD = 12. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит,

Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q— точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом поэтому Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.

Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности. Расстояние СM было найдено выше.

Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN — высота треугольника ABC.

Отсюда

Ответ: 7,5 или 7,2.

Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

Подставляя известные значения сторон, находим Следовательно,

Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 9. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.

Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB < BC. Значит, этот случай не достигается.

Ответ:

Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника.

Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно,

Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL = kAB, BK = kBC, KL = kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны:

Подставляя известные значения сторон, находим

Следовательно,

Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK, так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен k = 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL = AC = 7. Заметим, что BK = BC > AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB.

Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL > BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL = AB < BC. Значит, этот случай не достигается.

Ответ:

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общую сторону и равные стороны и следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, значит, Рассмотрим треугольник воспользовавшись теоремой косинусов найдём косинус угла

Из треугольника найдём сторону

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найдём косинус угла

Из треугольника найдём сторону

В треугольнике следовательно, он равнобедренный, углы при основании равны. Угол равен 60°, значит, Следовательно, треугольник — равносторонний,

Опустим высоту в равнобедренном треугольнике на основание Найдём

Треугольник — искомое сечение, найдём его площадь:

Ответ:

Примечание.

Площадь треугольника можно было найти по формуле Герона:

Заметим, что треугольник прямоугольный: Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом поэтому AT = 3CD = 12. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит,

Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q — точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом поэтому Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM. 

Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM = OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности. Треугольник ABC прямоугольный, а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.

Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что CN ⊥ AB, то есть CN — высота треугольника ABC.

Отсюда

Ответ: 6,5 или

Проведем через вершину A прямую, параллельную BC. Пусть T — точка ее пересечения с прямой CO, а M — точка пересечения AB и CT. Треугольник AOT подобен треугольнику DOC с коэффициентом поэтому AT = 3CD = 21. Значит, треугольник AMT равен треугольнику BMC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда M — середина стороны AB. Следовательно, CM — медиана треугольника ABC. Нетрудно заметить, что треугольник ABC — прямоугольный. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит,

Через вершину C проведем прямую, параллельную AB. Пусть Q — точка ее пересечения с прямой AO. Треугольник CDQ подобен треугольнику BDA с коэффициентом поэтому Тогда треугольники AMO и QCO равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому O — середина CM.

Окружность с центром O проходит через точку C, и при этом OM=OC. Следовательно, OM — радиус этой окружности, а точка M — одна из точек пересечения прямой AB и окружности.

Пусть N — вторая точка пересечения окружности с прямой AB. Тогда угол CNM — вписанный и опирающийся на диаметр CM, так что то есть CN — высота треугольника ABC.

Отсюда

Ответ: 14,5 или

а) Прямые разбивают треугольник на три треугольника, подобных ему (из-за параллельности сторон) и три параллелограмма. Обозначим коэффициенты подобия за и заметим, что , поскольку сумма сторон треугольников, параллельных данной стороне исходного треугольника, равна этой стороне (одна из трех там лежит, остальные две равны соответствующим частям стороны как противоположные стороны параллелограммов). Обозначая площади треугольников за , а площадь исходного за , будем иметь

б) В обозначениях пункта а) имеем , откуда и поэтому площадь последнего треугольника равна

Ответ: 1.

а) Из вершины С проведем луч СО, который пересечет AB в точке F. Ясно, что CF — биссектриса треугольника ABC.

Треугольники AOB и AOMимеют равные высоты, проведенные на их стороны OB и OM (или их продолжения) соответственно. Следовательно, их площади относятся как их названные основания:

Поскольку Аналогично

Рассмотрим треугольники СОМ и CON. У них: СО — общая сторона, как дополняющие равные вертикальные углы AOC и FON до По второму признаку равенства треугольников: Отсюда:

Кроме того, из равенства треугольников COM и CON следует:

Из равенства получим:

Так как , то

Рассмотрим треугольники AOM и BON. У них: как вертикальные, OM = ON по выше доказанному.

Равные углы CMO и CNO дополняют углы AMO и BNO до соответственно, откуда как вертикальные. Значит, по второму признаку равенства треугольников, откуда

Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB.

Из равнобедренности треугольника ABC следует:

б) Выше было доказано, что Значит, следовательно,

В прямоугольном

Следовательно,

В треугольнике ANC по теореме косинусов:

Окружность, вписанная в четырехугольник является вписанной и в треугольник Следовательно, искомый радиус

Ответ: б)

Пусть луч пересекает сторону в точке Введем следующие обозначения: , Прямые и параллельны, а углы и ― накрест лежащие при пересечении прямых и секущей следовательно, Далее, из прямоугольного треугольника находим , а из равнобедренного треугольника находим Таким образом, треугольники и подобны, и, значит, биссектриса треугольника является его высотой, откуда следует, что треугольник ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

б) Отрезок ― биссектриса треугольника следовательно:

откуда

Далее значит, и, следовательно, Откуда

следовательно,

По формуле Герона находим:

Значит,

Ответ:

Проведем через вершину прямую, параллельную Пусть  — точка ее пересечения с прямой а  — точка пересечения и Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом поэтому Значит, треугольник равен треугольнику по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда — середина стороны Следовательно, — медиана треугольника Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит,

Через вершину проведем прямую, параллельную Пусть — точка ее пересечения с прямой Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом поэтому Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому — середина  

Окружность с центром проходит через точку и при этом Следовательно, — радиус этой окружности. Треугольник прямоугольный, а точка — одна из точек пересечения прямой и окружности.

Пусть — вторая точка пересечения окружности с прямой Тогда угол — вписанный и опирающийся на диаметр так что то есть — высота треугольника

Отсюда

Ответ: 2,5 или

Проведем через вершину прямую, параллельную Пусть  — точка ее пересечения с прямой а  — точка пересечения и Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом поэтому Значит, треугольник равен треугольнику по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда — середина стороны Следовательно, — медиана треугольника Медиану треугольника найдём по формуле медианы

Через вершину проведем прямую, параллельную Пусть — точка ее пересечения с прямой Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом поэтому Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому — середина  

Окружность с центром проходит через точку и при этом Следовательно, — радиус этой окружности. И точка — одна из точек пересечения прямой и окружности. Значит, - одно из искомых расстояний

Пусть — вторая точка пересечения окружности с прямой Тогда угол — вписанный и опирающийся на диаметр так что то есть — высота треугольника

Используя формулы площади треугольника, получаем

, где

Отсюда

Ответ: или

а) Из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Пусть D — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом AC, r — радиус этой окружности. Тогда CDIL — квадрат, поэтому

По свойству биссектрисы треугольника поэтому

Значит,

Следовательно, LP = PM, что и требовалось доказать.

б) Центр O окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а так как точка Q — середина дуги BC описанной окружности этого треугольника, точки Q, M и O лежат на серединном перпендикуляре к катету BC.

Пусть F — проекция точки I на среднюю линию OM треугольника ABC. Тогда

Отрезок CI — биссектриса треугольника ACP, поэтому Значит,

Треугольник AIO прямоугольный с прямым углом при вершине I, так как

поэтому отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, то есть биссектриса AI треугольника OAK является его высотой. Значит, AO = AK = 25.

Четырёхугольник OKCQ — трапеция с основаниями CK = AC − AK = 5, OQ = OA = OB = 25 и высотой Следовательно,

Ответ: б) 300.

Примечание.

Доказательство того, что отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, может быть таким. Середина L отрезка CM — проекция точки I на прямую BC, а отрезок CM — проекция отрезка AQ на эту прямую. Значит, I — середина хорды AQ описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, отрезок AI перпендикулярен отрезку OK.

а) Из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Пусть D — точка касания вписанной окружности треугольника с катетом AC, r — радиус этой окружности. Тогда CDIL — квадрат, поэтому

По свойству биссектрисы треугольника поэтому

Значит,

Следовательно, LP = PM, что и требовалось доказать.

б) Центр O окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы, а так как точка Q — середина дуги BC описанной окружности этого треугольника, точки Q, M и O лежат на серединном перпендикуляре к катету BC.

Пусть F — проекция точки I на среднюю линию OM треугольника ABC. Тогда

Отрезок CI — биссектриса треугольника ACP, поэтому Значит,

Треугольник AIO прямоугольный с прямым углом при вершине I, так как

поэтому отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, то есть биссектриса AI треугольника OAK является его высотой. Значит, AO = AK = 5.

Четырёхугольник OKCQ — трапеция с основаниями CK = AC − AK = 1, OQ = OA = OB = 5 и высотой Следовательно,

Ответ: б) 12.

Примечание.

Доказательство того, что отрезок AI перпендикулярен отрезку OK, может быть таким. Середина L отрезка CM — проекция точки I на прямую BC, а отрезок CM — проекция отрезка AQ на эту прямую. Значит, I — середина хорды AQ описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, отрезок AI перпендикулярен отрезку OK.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, воспользуемся формулой Герона:

Далее по формуле находим:

Ответ: 25.

Приведем решение Павла Юкляева.

Треугольник ABC является остроугольным, поскольку 48² < 40² + 40². В равнобедренном остроугольном треугольнике центр описанной окружности О лежит на высоте, проведенной к основанию.

Проведем высоту CH, найдем ее из прямоугольного треугольника ACH:

Из прямоугольного треугольника AOH получим: а тогда

Приведем еще одно решение.

Проведем высоту CH. Из прямоугольного треугольника ACH найдем ее:

Следовательно,

Применим теорему синусов к треугольнику ABC, получим откуда

Заметим, что либо AC = BC, либо AB = BC (или AB = AC).

Первый случай (рис. 1). AC = BC = 13. Пусть Н — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием АB, r₁ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC. Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

Из равенства 18r₁ = 60 находим, что

Второй случай. (рис. 2). Пусть AB = BC = 13, CH — высота треугольника ABC, r₂ — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Тогда

Из прямоугольного треугольника ACH находим, что

Из равенства получаем, что

Рассмотрим третий случай.

Третий случай состоит в том, что BC = AB и эти стороны образуют острый угол. Тогда высота CH будет лежать внутри треугольника ABC и В этом случаем радиус будет равен

Ответ: