ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задание 16 № 525243

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка QN, если BC = 4,5, AD = 21,5, AB = 26, CD = 25, а угол CPD — прямой.

Решение.

а) Пусть угол BPQ равен γ. Четырёхугольник PBCQ — вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому $\angle BCQ = 180 в степени circ минус \gamma.$ Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому $\angle MPQ = 180 в степени circ минус \gamma.$ Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, поэтому $\angle MNC = 180 в степени circ минус <p>\angle BCN = 180 в степени circ минус (180 в степени circ минус \gamma) = \gamma.$ Тем самым, в четырехугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°: $\angle MPQ плюс \angle MQN = 180 в степени circ минус \gamma плюс \gamma = 180 в степени circ,$ а значит, он вписанный.

б) В прямоугольном треугольнике CPD проведенная к гипотенузе медиана равна ее половине: $PN= дробь, числитель — 25, знаменатель — 2 .$ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $MN= дробь, числитель — 21,5 плюс 4,5, знаменатель — 2 =13.$ Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 26, 17 и 25. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:

$h= дробь, числитель — 2S, знаменатель — AL = дробь, числитель — 2 корень из { 34 умножить на 8 умножить на 17 умножить на 9} , знаменатель — 17 = 24.$

Отсюда находим: $синус \angle BAD= дробь, числитель — h, знаменатель — AB = дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 ,$ $синус \angle CDA= дробь, числитель — h, знаменатель — CD = дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 .$

Поскольку $\angle PMN=\angle BAD$ по теореме синусов для треугольника MPN найдем радиус окружности, описанной около треугольника MPQ:

$R = дробь, числитель — PN, знаменатель — 2 синус \angle PMN = дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 12 {13, знаменатель — } = дробь, числитель — 325, знаменатель — 48 .$

Так как $\angle QNM=\angle CDA,$ можно найти MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

$MQ=2R синус \angle QNM=2 умножить на дробь, числитель — 325, знаменатель — 48 умножить на дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 =13.$

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный, тогда

$QN=2MN косинус \angle MNQ=2 умножить на 13 умножить на корень из { 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 24, знаменатель — 25 правая круглая скобка в степени 2 }=26 умножить на дробь, числитель — корень из { 25 в степени 2 минус 24 в степени 2 }, знаменатель — 25 = 26 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .$

Ответ: а) доказано, б) $дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .$

Приведём другое решение пункта б).

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке R. Заметим, что треугольники MNR и BCR подобны с коэффициентом $k= дробь, числитель — 4,5, знаменатель — 13 = дробь, числитель — 9, знаменатель — { 26}.$ Тогда $дробь, числитель — x, знаменатель — { x плюс 13} = дробь, числитель — 9, знаменатель — { 26},$ откуда $x= дробь, числитель — 117, знаменатель — 17$ и $дробь, числитель — y, знаменатель — { y плюс 12,5} = дробь, числитель — 9, знаменатель — { 26},$ откуда $y= дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 .$

Через вершину B проведем отрезок BL, параллельный CN, получим треугольник MBL со сторонами 13, 12,5 и 8,5, к которому применим теорему косинусов. Для удобства можно рассмотреть подобный ему треугольник со сторонами 26, 25 и 17, для которого $25 в степени 2 = 26 в степени 2 плюс 17 в степени 2 минус 2 умножить на 26 умножить на 17 косинус A,$ откуда $косинус A = дробь, числитель — 5, знаменатель — { 13}.$

По условию, треугольник CPD прямоугольный, отрезок PN является в нем медианой, проведенной к гипотенузе. Поэтому $PN = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CD = 12,5.$ В треугольнике MPN угол M равен углу А, тогда по теореме косинусов имеем:

$PN в степени 2 = MP в степени 2 плюс MN в степени 2 минус 2 MP умножить на MN косинус A равносильно 12,5 в степени 2 = MP в степени 2 плюс 13 в степени 2 минус 2 умножить на 13 умножить на MP умножить на дробь, числитель — 5, знаменатель — { 13} равносильно$

$равносильно MP в степени 2 минус 10 MP плюс 12,75 = 0,$ откуда $MP = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2$ или $MP = дробь, числитель — 17, знаменатель — 2 .$

Далее из подобия получаем:

$дробь, числитель — RQ, знаменатель — RM = дробь, числитель — RP, знаменатель — RN равносильно дробь, числитель — RQ, знаменатель — 13 плюс дробь, числитель — 117 {17, знаменатель — } = дробь, числитель — 13 плюс дробь, числитель — 117, знаменатель — 17 минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 , знаменатель — { 12,5 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 } равносильно RQ = дробь, числитель — 325, знаменатель — 17 ,$

откуда $QN = RN минус RQ = 12,5 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 минус дробь, числитель — 325, знаменатель — 17 = 0,$ или

$дробь, числитель — RQ, знаменатель — RM = дробь, числитель — RP, знаменатель — RN равносильно дробь, числитель — RQ, знаменатель — 13 плюс дробь, числитель — 117 {17, знаменатель — } = дробь, числитель — 13 плюс дробь, числитель — 117, знаменатель — 17 минус дробь, числитель — 17, знаменатель — 2 , знаменатель — 12,5 плюс дробь, числитель — 225 {34, знаменатель — } равносильно RQ = дробь, числитель — 5031, знаменатель — 425 ,$

откуда $QN = RN минус RQ = 12,5 плюс дробь, числитель — 225, знаменатель — 34 минус дробь, числитель — 5031, знаменатель — 425 = дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .$

Приведём ещё одно решение пункта б).

По условию, четырехугольник PBCQ вписанный. Из этого следует, что углы PBQ и PCQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Заметим, что поскольку углы QNM и CDA равны, сумма противоположных углов АPQ и ADQ четырехугольника APQD также равна 180°, а значит, он тоже вписанный. Из этого следует, что углы PAQ и PDQ равны, как опирающиеся на одну и ту же дугу.

Объединяя эти наблюдения, заключаем, что в треугольниках CPD и BQA есть две пары равных углов:

$\widehat{ABQ} = \widehat{PBQ} = \widehat{PCQ} = \widehat{PCD},$

$\widehat{BAQ} = \widehat{PAQ} = \widehat{PDQ} = \widehat{PDC},$

Но по условию, угол CPD прямой. Следовательно, угол BQA тоже прямой.

В прямоугольном треугольнике BQA проведенная к гипотенузе BA медиана равна ее половине: $MQ=13.$ Средняя линия трапеции ABCD равна полусумме оснований: $MN=13.$ Следовательно, треугольник MQN — равнобедренный. Тогда $QN=2MN косинус \widehat{MNQ} =26 косинус \widehat{ADC}.$

Через вершину трапеции C проведем прямую, параллельную боковой стороне AB, и пусть S — точка ее пересечения с основанием трапеции AD. Стороны треугольника SCD равны 26, 17 и 25. Применим теорему косинусов: $CS в степени 2 = SD в степени 2 плюс DC в степени 2 минус 2 умножить на SD умножить на BC умножить на косинус \widehat{ADC},$ откуда

$косинус \widehat{ADC} = дробь, числитель — 17 в степени 2 плюс 25 в степени 2 минус 26 в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на 17 умножить на 25 = дробь, числитель — 17 в степени 2 минус 51, знаменатель — 2 умножить на 17 умножить на 25 = дробь, числитель — 7, знаменатель — 25 .$

Тем самым, $QN=26 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 25 = дробь, числитель — 182, знаменатель — 25 .$

Источник: ЕГЭ по математике 29.03.2019. Досрочная волна. Вариант 3 (только часть С)., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Задания Д12 C4 № 521688

В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС,

причем $BE= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на BC.$ Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О.

а) Доказать, что $дробь, числитель — AO, знаменатель — OE = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .$

б) Найти длину стороны АВ, если АЕ = 5, ОС = 4, а угол АОС равен 120°

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 226.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники

Задание 16 № 525120

а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.

б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17.

Решение.

a) По условию, четырёхугольник PBCQ вписанный. Значит, $\angle BCQ плюс \angle BPQ =180 в степени circ.$ Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна основанию BC, а тогда $\angle BCQ плюс \angle QNM =180 в степени circ$ как односторонние углы при параллельных прямых. Следовательно, $\angle BPQ =\angle QNM$ . Для смежных углов справедливо равенство $\angle BPQ плюс \angle MPQ=180 в степени circ,$ а значит, $\angle QNM плюс \angle MPQ=180 в степени circ.$ В четырёхугольнике MPQN сумма противоположных углов равна 180°, поэтому вокруг него можно описать окружность. Тем самым, точки M, N, P и Q лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

б) Пусть $\angle QNM = \angle QDA=\alpha$ (эти углы равны как соответственные углы при параллельных прямых). В пункте а) было показано, что $\angle QNM плюс \angle MPQ=180 в степени circ,$ это означает, что $\angle QDA плюс \angle MPQ=180 в степени circ,$ и, следовательно, точки A, D, P и Q тоже лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны. Следовательно, $\angle PBQ = \angle PCQ$ и $\angle PAQ = \angle PDQ$ . Значит, треугольники DPC и AQB подобны по двум углам. Следовательно, $\angle AQB = \angle DPC = 90 в степени circ,$ так как по условию DP и PC перпендикулярны.

В прямоугольном треугольнике AQB точка M − середина гипотенузы. Следовательно, $MQ= AM=MB= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 =10,5.$ С другой стороны, средняя линия трапеции $MN = дробь, числитель — AD плюс BC, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 4 плюс 17, знаменатель — 2 =10,5.$ Значит, треугольник NMQ равнобедренный и в нём $QN= 2 умножить на MN умножить на косинус \alpha = 21 косинус \alpha.$ Осталось найти косинус угла CDA.

Для этого на отрезке AD отметим точку E, так что $AE=BC=4,$ тогда $DE=13,$ $CE=21.$ Для треугольника CDE запишем теорему косинусов: $CE в степени 2 =DE в степени 2 плюс CD в степени 2 минус 2DE умножить на CD умножить на косинус \alpha,$ откуда выразим косинус угла CDE:

$косинус \alpha = дробь, числитель — DE в степени 2 плюс CD в степени 2 минус CE в степени 2 , знаменатель — 2DE умножить на CD = дробь, числитель — 13 в степени 2 плюс 20 в степени 2 минус 21 в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на 13 умножить на 20 = дробь, числитель — 16, знаменатель — 65 .$

Итак,

$QN=21 косинус \alpha=21 умножить на дробь, числитель — 16, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 336, знаменатель — 65 .$

Приведем другое решение пункта б):

Заметим, что раз треугольник PDC — прямоугольный, то PN = CN = ND = 10, $MN= дробь, числитель — 17 плюс 4, знаменатель — 2 =10,5$ — средняя линия трапеции ABCD. Зная боковые стороны и основания трапеции, нетрудно найти ее высоту из треугольника CED со сторонами 21, 20 и 13: $h= дробь, числитель — 252, знаменатель — 13 .$ Отсюда найдем $синус \angle BAD= дробь, числитель — дробь, числитель — 252, знаменатель — 13 , знаменатель — { 21}= дробь, числитель — 12, знаменатель — 13 ,$ $синус \angle CDA= дробь, числитель — дробь, числитель — 252, знаменатель — 13 , знаменатель — { 20}= дробь, числитель — 63, знаменатель — 65 .$ Теперь, так как $\angle{PMN}=\angle{BAD},$ по теореме синусов для треугольника MPN, можем найти радиус окружности, описанной около MPQN:

$R= дробь, числитель — PN, знаменатель — 2 синус \angle{PMN }= дробь, числитель — 10, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 12 {13, знаменатель — } = дробь, числитель — 65, знаменатель — 12 .$

Так как $\angle{QNM=\angle{CDA}},$ найдем MQ по теореме синусов для треугольника MQN:

$MQ=2R синус \angle{QNM}=2 умножить на дробь, числитель — 65, знаменатель — 12 умножить на дробь, числитель — 63, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 .$

Таким образом, треугольник MQN — равнобедренный:

$QN=2 умножить на MN умножить на косинус \angle{MNQ}=2 умножить на дробь, числитель — 21, знаменатель — 2 умножить на корень из { 1 минус левая круглая скобка дробь, числитель — 63, знаменатель — 65 правая круглая скобка в степени 2 }=$

$=21 умножить на дробь, числитель — корень из { 65 в степени 2 минус 63 в степени 2 }, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 21, знаменатель — 65 корень из { 2 умножить на 128}= дробь, числитель — 21 умножить на 16, знаменатель — 65 = дробь, числитель — 336, знаменатель — 65 .$

Ответ: б) $дробь, числитель — 336, знаменатель — 65 .$

Источник: Досрочная волна ЕГЭ по математике 29.03.2019. Вариант 1, Задания 16 (С4) ЕГЭ 2019

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Задания Д12 C4 № 505829

В треугольнике ABC известны стороны AB = 4, $AC= корень из { 17}$ и BC = 5. На стороне AB взята точка D такая. что AD = 1.

а) Докажите, что CD и AB перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между центрами окружностей. описанных около треугольников BDC и ADC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 79.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Треугольники

Задание 16 № 507262

Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.

а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.

б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.

Аналоги к заданию № 507262: 511418 Все

Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства хорд, Теорема косинусов, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства

Задания Д12 C4 № 521831

В тупоугольном треугольнике АВС ( $\angleС$ — тупой) на высоте ВН как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.

а) Докажите, что $синус \angle ABC= дробь, числитель — PH, знаменатель — BC минус дробь, числитель — KH, знаменатель — BA .$

б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что ВА = 13, ВС = 8, $синус \angle ABC= дробь, числитель — 7 корень из 3 , знаменатель — 26 .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 236.

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 527460

Окружность, построенная на стороне BC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Прямые СМ и ВN пересекаются в точке P. Точка О — середина АР.

а) Докажите, что треугольник ОМN равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ОМN, если известно, что $AM = 3,$ $BM = 9,$ $AN = 4.$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 263.

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема Менелая, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Треугольники

Задания Д12 C4 № 505891

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, его диагонали KM и LN пересекаются в точке F, причем KL = 8, MN = 4, периметр треугольника MNF равен 9, площадь треугольника KLF равна $3 корень из { 15}.$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KNF.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 8.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие

Задания Д11 C4 № 507818

Точки D и E — основания высот непрямоугольного треугольника ABC, проведённых из вершин A и C соответсвенно. Известно, что $дробь, числитель — DE, знаменатель — AC =k,$ BC = a и AB = b. Найдите сторону AC, если известно, что: а) треугольник остроугольный, б) угол B тупой.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники

Задания Д12 C4 № 508110

Хорда AB стягивает дугу окружности, равную 120°. Точка С лежит на этой дуге, а точка D лежит на хорде AB. При этом AD = 2, BD = 1, $DC = корень из 2 .$

а) Докажите, что угол ADC равен $дробь, числитель — знаменатель — p i6.$

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 87.

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружности и четырёхугольники

Задания Д12 C4 № 521674

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен $дробь, числитель — корень из { 15}, знаменатель — 3$ Окружность радиуса $дробь, числитель — 5 корень из 5 , знаменатель — 3 корень из 3$ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

а) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный

б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна $3 корень из { 15},$ а наибольшей из его сторон является сторона АС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 224.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Подобие, Треугольники

Задания Д12 C4 № 527403

В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB, $AE= корень из { 10}EL,$ $BC больше AC.$

а) Найдите углы треугольника ABC.

б) Найдите отношение $дробь, числитель — AE, знаменатель — CL .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 257.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 505745

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65.

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 505861

Дан треугольник АВС, в котором $\angle ABC=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .$ В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3.

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Задания Д12 C4 № 511247

Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем ∠CMA = ∠DMB.

а) Докажите, что ∠OCM = ∠ODM.

б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

Решение.

а) Продолжим отрезок DM за точку M до пересечения с окружностью в точке P (см. рис.) Соединим центр окружности — точку О, с точками P и С — отрезками. ∠DMB = ∠OMP как вертикальные, ∠DMB = ∠CMO по условию, следовательно, ∠OMP = ∠OMC.

Любая окружность симметрична сама себе относительно всякой прямой, проходящей через ее центр.

Рассмотрим симметрию относительно диаметра AB. При этом:

– точки А, О, M и В, отрезок OM перейдут сами на себя;

– поскольку ∠OMP = ∠M, луч МС MP перейдет на луч MP;

– полуокружность ACB перейдет на полуокружность APB, общая точка луча МС и полуокружности ACB перейдет в общую точку луча MP и полуокружности APB, т. е. точка С перейдет в точку P;

– отрезок ОС перейдет на отрезок OP, ∠OCM — на ∠ OPM. Следовательно, ∠ OCM = ∠OPM.

Но Δ POD — равнобедренный, поскольку OP = OD как радиусы одной и той же окружности. Значит, ∠OPM = ∠ODM. Отсюда: ∠OCM = ∠ODM, что и требовалось доказать.

б) Найдём угол CMD:

$\angle CMD={{180} в степени \circ } минус (\angle CMO плюс \angle DMB)={{180} в степени \circ } минус {{90} в степени \circ }={{90} в степени \circ }.$

В Δ OMD: ∠OMD = 135°, по теореме косинусов:

$O{{D} в степени 2 }=O{{M} в степени 2 } плюс M{{D} в степени 2 } минус 2OM умножить на MD умножить на косинус {{135} в степени \circ }=16 плюс M{{D} в степени 2 } плюс 2 умножить на 4MD умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .$

$M{{D} в степени 2 } плюс 4 корень из { 2}MD плюс 16 минус 36=0;M{{D} в степени 2 } плюс 4 корень из { 2}MD минус 20=0.$

Найдем положительный корень этого уравнения.

$MD= минус 2 корень из { 2} плюс корень из { 8 плюс 20}= корень из { 28} минус 2 корень из { 2}=2 корень из { 7} минус 2 корень из { 2}.$

В Δ COM по теореме косинусов:

$C{{O} в степени 2 }=C{{M} в степени 2 } плюс O{{M} в степени 2 } минус 2CM умножить на OM умножить на косинус {{45} в степени \circ }=C{{M} в степени 2 } плюс 16 минус 2 умножить на CM умножить на 4 умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 .$

$C{{M} в степени 2 } минус 4 корень из { 2}CM плюс 16 минус 36=0;C{{M} в степени 2 } минус 4 корень из { 2}CM минус 20=0.$

Положительный корень этого уравнения будет равен

$CM=2 корень из { 2} плюс корень из { 8 плюс 20}=2 корень из { 7} плюс 2 корень из { 2}=2( корень из { 7} плюс корень из { 2}).$

$S(COMD)=S(COM) плюс S(CMD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на OM умножить на CM умножить на синус {{45} в степени \circ } плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 MD умножить на CM=$

$= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CM(OM умножить на синус {{45} в степени \circ } плюс MD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 2 левая круглая скобка корень из { 7} плюс корень из { 2} правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 4 умножить на дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 плюс 2 корень из { 7} минус 2 корень из { 2} правая круглая скобка =$

$= левая круглая скобка корень из { 7} плюс корень из { 2} правая круглая скобка умножить на 2 корень из { 7}=14 плюс 2 корень из { 14}.$

Приведём другое решение:

а) Продолжим DM до пересечения с окружностью в точке N (см. рис.). Соединим центр окружности — точку О с точкой С — отрезком. Опустим из точки О перпендикуляры к отрезкам СМ и DN, основания перпендикуляров обозначим H и T соответственно. Обозначим некоторые углы, ∠1, ∠2 и ∠3, как показано на рисунке.

∠2 = ∠3 как вертикальные, ∠2 = ∠1 по условию, следовательно, ∠1 = ∠3. Прямоугольные треугольники MHO и MTO равны по общей гипотенузе ОМ и острому углу (∠1 = ∠3), откуда OH = OT.

Рассмотрим прямоугольные треугольники OHC и OTD. Они равны по гипотенузе и катету, поскольку OH = OT по только что доказанному, OC = OD как радиусы одной и той же окружности. Отсюда: ∠OCM = ∠ODM, что и требовалось доказать.

б) По условию и доказанному выше: ∠2 = ∠1 = ∠3 = 45°. Следовательно, ∠MD = 180° − (45° + 45°) = 90°. ∠HOM = 90° − 45° = 45°. Значит, OH = MH. Аналогично OT = MT. Из совокупности полученных результатов имеем: OHMT — квадрат.

$HM=OM умножить на косинус \angle 1= дробь, числитель — 4 корень из { 2}, знаменатель — 2 =2 корень из { 2};CH= корень из { C{{O} в степени 2 } минус O{{H} в степени 2 }}= корень из { 36 минус 8}= корень из { 28}=2 корень из { 7}.$

$CM=CH плюс HM=2 корень из { 7} плюс 2 корень из { 2}=2( корень из { 7} плюс корень из { 2}).$

$косинус \angle SDM= косинус \angle OCH= дробь, числитель — CH, знаменатель — CO = дробь, числитель — 2 корень из { 7}, знаменатель — 6 = дробь, числитель — корень из { 7}, знаменатель — 3 .$

В Δ SMD, где ∠SMD = 90°, $синус \angle DSM= косинус \angle SDM= дробь, числитель — корень из { 7}, знаменатель — 3 .$

$S(COMD)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CM умножить на OD умножить на синус \angle DSM= дробь, числитель — 2( корень из { 7} плюс корень из { 2}) умножить на 6 умножить на корень из { 7}, знаменатель — 2 умножить на 3 =14 плюс 2 корень из { 14}$

Ответ: б) $14 плюс 2 корень из { 14}.$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 126.

Методы геометрии: Теорема косинусов, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружности

Задания Д12 C4 № 515108

В треугольнике АВС ВА = 8, ВС = 7, угол B равен 120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М.

а) Докажите, что АМ = ВС.

б) Найдите длину отрезка с концами на сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.

Методы геометрии: Метод площадей, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружность, вписанная в четырехугольник, Треугольники

Задания Д12 C4 № 521767

На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ = ВС.

а) Докажите, что ВК = КE.

б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ = 13, АЕ = 7, АD = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 231.

Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Многоугольники