СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Поиск
'



Всего: 78    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–78

Добавить в вариант

Задание 19 № 500136

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

 

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?


Аналоги к заданию № 505541: 500136 500371 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2012 года, основная волна.
Решение · Прототип задания · ·

Задание 19 № 500371

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

 

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?


Аналоги к заданию № 505541: 500136 500371 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2012 год

Задание 19 № 505541

Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

 

а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?


Аналоги к заданию № 505541: 500136 500371 Все


Задание 19 № 506031

а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?

б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?

в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь девятых?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 31.

Задание 19 № 513719

После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?

в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?


Аналоги к заданию № 513689: 513719 Все

Источник: Проб­ный эк­за­мен по про­филь­ной ма­те­ма­ти­ке Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.
Решение · Прототип задания · ·

Задание 19 № 501071

За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего числа детей, евших конфеты.

а) Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?


Задание 19 № 505433

Несколько экспертов оценивают несколько кинофильмов. Каждый из них выставляет оценку каждому кинофильму — целое число баллов от 1 до 10 включительно. Известно, что каждому кинофильму все эксперты выставили различные оценки. Рейтинг кинофильма — это среднее геометрическое оценок всех экспертов. Среднее геометрическое чисел равно Оказалось, что рейтинги всех кинофильмов — различные целые числа.

а) Могло ли быть 2 эксперта и 5 кинофильмов?

б) Могло ли быть 3 эксперта и 4 кинофильма?

в) При каком наибольшем количестве экспертов описанная ситуация возможна для одного кинофильма?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 05.06.2014. Ос­нов­ная волна. Ва­ри­ант 901.

Задание 19 № 505621

Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает «тепло»; в остальных случаях Леша отвечает «холодно». (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ «тепло», а в остальных случаях услышит «холодно».)

а) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.

б) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).

в) А за 22 попытки получится?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.

Задание 19 № 515673

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, больше 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?


Аналоги к заданию № 510497: 509164 515673 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике под редакцией И.В. Ященко, 2017. Задания С7., Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2017. Вариант 2. (Часть C).

Задание 19 № 517472

Каждый из 32 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 14.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 11?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 11?


Аналоги к заданию № 517465: 517519 517472 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 402 (C часть).

Задание 19 № 517519

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 15.

б) Могло ли значение S быть равным 5?

в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 10 студентов?


Аналоги к заданию № 517465: 517519 517472 Все

Источник: За­да­ния 19 (С7) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Ос­нов­ная волна 02.06.2017. Вариант 419 (C часть).

Задание 19 № 503257

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 23.04.2013. До­сроч­ная волна. Восток. Ва­ри­ант 1.

Задание 19 № 505597

Два игрока ходят по очереди. Перед началом игры у них есть поровну горошин. Ход состоит в передаче сопернику любого числа горошин. Не разрешается передавать такое количество горошин, которое до этого уже кто‐то в этой партии передавал. Ноль горошин тоже передавать нельзя. Тот, кто не может сделать очередной ход по правилам, — считается проигравшим. Начинающий или его соперник победит в этой игре, как бы ни играл партнёр?

Рассмотрите случаи:

а) у каждого по две горошины;

б) у каждого по три горошины;

в) у каждого по N горошин.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
Решение · ·

Задание 19 № 505603

Трое друзей играли в шашки. Один из них сыграл 25 игр, а другой — 17 игр. Мог ли третий участник сыграть  

а) 34;

б) 35;

в) 56 игр?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.

Задание 19 № 505869

У Лены три набора, в каждом из которых одинаковое количество ручек (больше 1). У Юли несколько (больше 1) наборов ручек, по 5 штук в каждом.

а) При каком количестве наборов у Юли, количество всех ручек у Лены нечетно, если всего у девочек 105 ручек?

б) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в 12 наборов по 12 ручек в каждом?

в) Можно ли разложить все ручки Юли и Лены в k наборов по k ручек в каждом (k > 3)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.

Задание 19 № 505995

Груп­па пси­хо­ло­гов раз­ра­бо­та­ла тест, прой­дя ко­то­рый, каж­дый че­ло­век по­лу­ча­ет оцен­ку — число Q — по­ка­за­тель его ум­ствен­ных спо­соб­но­стей (чем боль­ше Q, тем боль­ше спо­соб­но­сти). За рей­тинг стра­ны при­ни­ма­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское зна­че­ний Q всех жи­те­лей стра­ны.

а) Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B. Мог ли при этом у обеих стран вы­рас­ти рей­тинг?

б) После этого груп­па граж­дан стра­ны B (в числе ко­то­рых могут быть и быв­шие эми­гран­ты из A) эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну A. Воз­мож­но ли, что рей­тин­ги обеих стран опять вы­рос­ли?

в) Груп­па граж­дан стра­ны A эми­гри­ро­ва­ла в стра­ну B, а груп­па граж­дан B — в стра­ну C. В ре­зуль­та­те рей­тин­ги каж­дой стра­ны ока­за­лись выше пер­во­на­чаль­ных. После этого на­прав­ле­ние ми­гра­ци­он­ных по­то­ков из­ме­ни­лось на про­ти­во­по­лож­ное – часть жи­те­лей C пе­ре­еха­ла в B, а часть жи­те­лей B – в A. Ока­за­лось, что в ре­зуль­та­те рей­тин­ги всех стран опять вы­рос­ли (по срав­не­нию с теми, что были после пер­во­го пе­ре­ез­да, но до на­ча­ла вто­ро­го). Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то по­че­му)? Пред­по­ла­га­ет­ся, что за рас­смат­ри­ва­е­мое время Q граж­дан не из­ме­ни­лось, никто не умер и не ро­дил­ся.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.

Задание 19 № 506001

В школе, где учат­ся Поля, Маня и Дуня, есть длин­ный ко­ри­дор вдоль одной из стен ко­то­ро­го рас­по­ло­жен длин­ный ряд из n ячеек, за­ну­ме­ро­ван­ных на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до n, за­кры­ва­ю­щих­ся на замки, в ко­то­рых школь­ни­ки могут хра­нить свои лич­ные вещи. Од­на­ж­ды, придя в школу в вы­ход­ной день, Поля об­на­ру­жи­ла все ячей­ки от­кры­ты­ми. Она стала об­хо­дить ряд ячеек сна­ча­ла до конца, за­кры­вая на замок каж­дую вто­рую ячей­ку. До­стиг­нув конца ряда, она раз­вер­ну­лась и снова стала за­кры­вать на замок каж­дую вто­рую ячей­ку из тех, ко­то­рые еще были от­кры­ты. Таким об­ра­зом Поля про­дол­жа­ла об­хо­дить ряд и за­кры­вать на замок ячей­ки до тех пор, пока оста­лась не­за­кры­той одна ячей­ка.

Обо­зна­чим номер по­след­ней от­кры­той ячей­ки. На­при­мер, если ко­ли­че­ство ячеек то как по­ка­за­но на ри­сун­ке

 

123456789101112131415
123456789101112131415
13579111315
371115
311

 

а) Най­ди­те

До­ка­жи­те, что:

б) не су­ще­ству­ет на­ту­раль­но­го числа та­ко­го что

в) су­ще­ству­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел таких что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.

Задание 19 № 506007

Дайте обос­но­ван­ные от­ве­ты на сле­ду­ю­щие во­про­сы.

а) В мешке на­хо­дят­ся 1 жел­тый, 1 зе­ле­ный и 2 крас­ных шара. Из мешка слу­чай­ным об­ра­зом вы­ни­ма­ют 2 шара раз­но­го цвета и за­ме­ня­ют одним шаром тре­тье­го цвета. Этот про­цесс про­дол­жа­ют до тех пор, пока все остав­ши­е­ся шары в мешке не ока­жут­ся од­но­го цвета (воз­мож­но, что при этом в мешке оста­нет­ся один шар) Ка­ко­го цвета шары (или шар) могут остать­ся в мешке?

б) В мешке 3 жел­тых, 4 зе­ле­ных и 5 крас­ных шаров. Ка­ко­го цвета шары (или шар) могут остать­ся в мешке в конце после при­ме­не­ния опи­сан­ной в преды­ду­щем пунк­те про­це­ду­ры?

в) В мешке на­хо­дят­ся 3 жел­тых, 4 зе­ле­ных и 5 крас­ных шаров. Из мешка слу­чай­ным об­ра­зом вы­ни­ма­ют 2 шара раз­но­го цвета и за­ме­ня­ют двумя ша­ра­ми тре­тье­го цвета. Можно ли, при­ме­няя эту про­це­ду­ру мно­го­крат­но, до­бить­ся того, чтобы в мешке ока­за­лись шары од­но­го цвета? Если можно, то ка­ко­го цвета эти шары?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 27.

Задание 19 № 506013

У Кости была кучка из 100 ка­меш­ков. Каж­дым ходом он делил какую-то из кучек на две мень­ших, пока у него не ока­за­лось 100 кучек по од­но­му ка­меш­ку.

а) воз­мож­но ли, что в какой-то мо­мент в каких-то 30 куч­ках было ровно 60 ка­меш­ков;

б) воз­мож­но ли, что в какой-то мо­мент в каких-то 20 куч­ках было в сумме ровно 60 ка­меш­ков;

в) мог ли Костя дей­ство­вать так, чтобы ни в какой мо­мент не на­шлось 19 кучек, в ко­то­рых в сумме ровно 60 ка­меш­ков?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.

Задание 19 № 506025

Рас­смат­ри­ва­ет­ся набор гирь, каж­дая из ко­то­рых весит целое число грам­мов, а общий вес всех гирь равен 500 грам­мов. Такой набор на­зы­ва­ет­ся пра­виль­ным, если любое тело, име­ю­щее вес, вы­ра­жен­ный целым чис­лом грам­мов от 1 до 500, может быть урав­но­ве­ше­но не­ко­то­рым ко­ли­че­ством гирь на­бо­ра, и при­том един­ствен­ным об­ра­зом (тело кла­дет­ся на одну чашу весов, гири – на дру­гую; два спо­со­ба урав­но­ве­ши­ва­ния, раз­ли­ча­ю­щи­е­ся лишь за­ме­ной не­ко­то­рых гирь на дру­гие того же веса, счи­та­ют­ся оди­на­ко­вы­ми).

а) При­ве­ди­те при­мер пра­виль­но­го на­бо­ра, в ко­то­ром не все гири по од­но­му грам­му.

б) Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных пра­виль­ных на­бо­ров?

(Два на­бо­ра раз­лич­ны, если не­ко­то­рая гиря участ­ву­ет в этих на­бо­рах не оди­на­ко­вое число раз.)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.
Всего: 78    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–78