Окружность с центром в O₁ будем называть первой окружностью, с центром в O₂ — второй окружностью.

а) У треугольников ABC и ABF общее основание AB. Значит, для равенства площадей надо доказать равенство их высот, опущенных из вершин C и F соответственно. Следовательно, надо доказать параллельность прямых AB и FC: это можно получить, если вывести равенство углов ∠AFC и ∠BAF (накрест лежащие).

Во-первых, во второй окружности углы ∠DBC и ∠DFC равны, так как они опираются на одну и ту же дугу DC.

Во-вторых, угол между касательной к окружности и хордой равен половине дуги, опирающейся на эту хорду. Тогда из первой окружности получим, что (вписанный угол равен половине центрального). Таким образом получили, что ∠BAF = ∠AFC, то есть AB || FC, значит, высоты треугольников равны, и их площади совпадают.

Что и требовалось доказать.

б) Аналогично углам ∠BAD и ∠BDC получаем, что ∠ABD = ∠BCD (угол ∠ABD между касательной ко второй окружности и хордой BD равен углу ∠BCD, опирающемуся на эту хорду). Таким образом получаем, что ΔABD ~ ΔBCD (по 2 углам). Так как ∠ADB = ∠BDC = α, то ∠ADE = π − α, ∠CDE = π − α, то есть ∠ADE = ∠CDE, откуда следует, что DE — биссектриса треугольника ADC. Тогда из свойства биссектрисы имеем соотношение

Теперь воспользуемся подобием треугольников ABD и BCD:

Из второго равенства выше выразим BD: Подставим это в первое равенство:

Окончательно получаем, что

Ответ: 25 : 81.

а) Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x = 2y · y. Отсюда находим, что x = y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б) Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H — проекция центра O на хорду AD. Тогда H — общая середина отрезков AD и PQ, а OH — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P — прямую, параллельную CF, а через точку Q — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ = 2a. Тогда

Отсюда находим, что a = 3, значит, PQ = 2a = 6,

Следовательно,

Ответ:

а) Угол ABP — вписанный. Он измеряется половиной градусной меры дуги АСР. Угол BDP как угол между двумя пересекающимися хордами окружности измеряется градусной мерой полусуммы дуг ВnР и АqС.

Но градусные меры дуг ВnР и РmС равны, поскольку на них опираются равные вписанные углы ВАР и САР. А сумма дуг AqC и CmP составляет дугу ACР.

Таким образом, углы ABP и BDP измеряются градусной мерой одной и той же дуги и одной и той же окружности. Значит, что и требовалось доказать.

б) Пусть ВD = x, тогда СD = 10 – х. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника будем иметь: AB : AC = BD : CD, т. е.

Итак,

Вычислим длину биссектрисы AD треугольника АВС. Как известно, ее квадрат можно вычислить по формуле:

Известно также свойство двух пересекающихся хорд одной и той же окружности, согласно которому Откуда:

Треугольники ADB и BDP с основаниями AD и PD имеют общую высоту, проведенную к этим основаниям или к продолжению одного из них. Следовательно,

Примечание:

1. Предположим, что мы не помним (не знаем) формулы квадрата биссектрисы. В таком случае как можно найти длину биссектрисы AD при решении данной задачи?

Можно так:

Проведем высоту ВК треугольника АВС к основанию АС. Это с одной стороны.

Но с другой же стороны, если то:

(числа 3; 4 и 5 – пифагорова тройка).

Итак,

Ответ:

а) По теореме о внешнем угле треугольника,

Поэтому

Значит, точки B, E, C, O лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы CBE и COE опираются на одну и ту же дугу, следовательно, ∠CBE = ∠COE.

б) По теореме косинусов,

Вписанные углы BEO и CEO опираются на равные хорды BO и CO, значит, EO — биссектриса угла BEC. Пусть M — точка её пересечения со стороной BC. По формуле для биссектрисы треугольника получаем:

По свойству биссектрисы треугольника значит,

По теореме о произведении пересекающихся хорд EM · MO = BM · CM, откуда находим, что

Треугольники COM и AOK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому OK = OM. Следовательно, EK = EM + 2OM = 15 + 98 = 113.

Ответ: 113.

Примечание.

Зная длину отрезка СМ = 21, можно искать ME, применяя теорему косинусов к треугольнику СМЕ. Пусть в нем МЕ = х, тогда

Поскольку треугольник СМЕ остроугольный, решение х = 9 постороннее. Посторонние корни появляются из-за того, что по стороне, прилежащему к ней углу и противолежащей данному углу стороне треугольник определен неоднозначно. Аналогично для треугольника BME: можно найти две корня уравнения на длину EM: 15 и 25, больший корень является посторонним.

Предложенная задача известна как теорема Штейнера–Лемуса «Если в треугольнике равны две биссектрисы, то этот треугольник равнобедренный». Исходя из этого имеем:

а) Лемма 1. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше отцентра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

Лемма 2. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник, в котором Пусть отрезки BM и CNделят пополам углы В и С соответственно. Наша задача — доказать, что BM > CN.

Возьмем точку M' на отрезке BM так, чтобы Так как этот угол равен углу то четыре точки лежат на одной окружности.

Поскольку

то

По лемме 1 Следовательно,

Теперь докажем теорему Штейнера–Лемуса.

Предположим, что в треугольнике т.е. признак равнобедренного треугольника не выполняется. Тогда по лемме 2 что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение о невыполнении равенства неверно.

б) Пусть угол при основании треугольника высота, проведенная к основанию, тогда: в по теореме синусов:

Поскольку отрицательное значение нас не интересует. Итак,

Ответ: б)

Треугольники ACB и NCM подобны по двум углам с коэффициентом поэтому

Отсюда Обозначим стороны треугольника Тогда

откуда По теореме косинусов для треугольника ABC в то же время имеем

откуда поэтому и Значит, a и b являются корнями квадратного уравнения (теорема Виета), поэтому они равны Будем считать, что тогда

а) Найдем высоту треугольника ACB и уменьшим ее втрое. Имеем:

поэтому ответ

б) Обозначим Из подобия, кроме того, По свойству пересекающихся хорд имеем и Далее:

Складывая эти уравнения, получим:

Вычитая, получим:

Следовательно Прибавляя к этому уравнению удвоенное уравнение получим:

Значит,

Ответ: а) б)

а) Пусть По свойству биссектрисы поэтому По свойству пересекающихся хорд откуда Значит, (опираются на дугу описанной окружности), откуда

б) По формуле для биссектрисы имеем откуда

Ответ: б)

12, 5, 13 – пифагоровы числа, следовательно, — прямоугольный, с гипотенузой АВ. В таком случае АВ — диаметр окружности S. Значит, радиус этой окружности

Через точку D можно провести две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Пусть О — центр окружности S. Проведем прямую через точки O и D.Очевидно, что прямая OD — ось симметрии как окружности S, так и искомых окружностей. Следовательно, точки — центры искомых окружностей, лежат на прямой OD.

Хорда АС окружности S делит круг окружности S на два сегмента, половины высот которых являются искомыми радиусами. Вычислим эти высоты по формуле: где l — длина хорды, в нашем случае l = АС = 12.

Замечание:

Если x — один из искомых радиусов, то радиус другой окружности равен Итак, АС и диаметр окружности S — две хорды этой же окружности, пересекающиеся в точке D. Для них выполнимо: или

Проверка показывает, что эти значения х и есть искомые радиусы.

Ответ: 2 или 4,5.

а) Вывернем задачу. Обозначим за середину дуги тогда Опустим перпендикуляр на и отметим на точку так, что Тогда в треугольнике высота совпадает с медианой и Значит, у треугольников и равны две стороны и угол не между ними. Такие треугольники могут быть равны или иметь углы, составляющие в сумме Второе невозможно, поскольку Значит, треугольники равны, то есть поэтому построенная таким образом точка совпадает с точкой перпендикуляр- с перпендикуляром из задачи и точка — с точкой то есть — биссектриса.

б)

Пусть — основание биссектрисы. Тогда откуда По формуле для биссектрисы имеем По теореме о пересекающихся хордах

и

Наконец, по теореме косинусов в треугольнике имеем Значит, откуда

Окончательно

Ответ: б)

а) Заметим, что поскольку  — диаметр окружности. Значит, в треугольнике точка P — точка пересечения высот, поэтому Тогда откуда и следует описанность четырехугольника

б) По условию и предыдущему пункту Пусть - основание высоты из на Тогда Тогда по свойству пересекающихся хорд откуда и Далее, поэтому По теореме косинусов найдем

Наконец,

Ответ: б)

а) Отрезок — общая хорда окружностей, поэтому она перпендикулярна их линии центров, то есть средней линии трапеции. Значит, она перпендикулярна и основаниям трапеции.

б) Радиусы окружностей равны и а расстояние между центрами равно Длина общей хорды в два раза больше высоты треугольника со сторонами проведенной к большей стороне. Значит,

Ответ: б)

Обозначим центры окружностей за и Пусть Поскольку окружности касаются прямой AC, прямая перпендикулярна прямой AC и прямая перпендикулярна прямой AC. Вычислим теперь углы:

а) По теореме косинусов для треугольника имеем:

Проведем в прямоугольной трапеции высоту Тогда:

и

б) Общая хорда двух окружностей перпендикулярна их линии центров. Поэтому она равна удвоенной высоте треугольника с вершинами в центрах окружностей и одной из их общих точек. Имеем:

Для нахождения площади треугольника используем формулу Герона в раскрытом виде:

откуда и окончательный ответ

Ответ: а) 6; б)

а) Поскольку по условию биссектрисы внешних углов B и C треугольника BOC пересекаются в точке E, она и есть центр вневписанной окружности этого треугольника.

б) Отметим сразу, что OE — биссектриса угла

Поскольку четырехугольник AODE — вписанный. Значит, (как хорды, стягивающие равные дуги в его описанной окружности. Равенство дуг следует из равенства углов AOE и DOE).

Отложим на продолжении луча BA за точку A точку так, чтобы Тогда

поэтому треугольники CDE и C₁AE равны по двум сторонам и углу между ними.

Далее тогда треугольники и равны по углам и одной стороне (сторона BE у них общая).

Тогда

Ответ: 22.

а) Из условия задачи следует, что AO ⊥ AB. Следовательно, AO || BE как два перпендикуляра к одной и той же прямой.

Сделаем дополнительное построение: продолжим AO до пересечения с другой точкой окружности, которую обозначим D. Соединим точки E и D отрезком. Мы получили вписанную трапецию ACED, одним основанием которой будет служить диаметр заданной окружности.

Так как в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию, то DE = AC = 6. Но эти же равные хорды стягивают и равные дуги АС и DE. Следовательно, равным дугам соответствующие центральные углы AOC и DOE обязаны быть равными.

Отсюда: ∠AOE + ∠AOC = ∠AOE + ∠ DOE = 180°, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что ∠AED = 90° как вписанный, опирающийся на диаметр AD. Два прямоугольных треугольника ABE и AED имеют равные острые углы: ∠BEA и ∠EAD (внутренние накрест лежащие при параллельных BE, AD и секущей AE). Следовательно, они (треугольники) подобны, откуда:

В прямоугольном треугольнике AED по теореме Пифагора: AD² = AE² + DE² = 5AD + 36. То есть

Ответ: б) 9.

а) что и требовалось доказать.

б) Как следует из пункта а, точка E лежит на продолжении диагонали BD за точку D. Заметим, что угол A острый (иначе окружность пересекает диагональ внутри параллелограмма). Продлим сторону AD до пересечения с окружностью в точке K. Тогда ABCK — вписанная трапеция, значит,

Обозначим BD за x. Тогда (по теореме о пересекающихся хордах). Тогда высота равнобедренного треугольника CDK равна

Она же является высотой трапеции и треугольника BAD. Найдем теперь двумя способами (через высоту и по формуле Герона) площадь треугольника ABD и приравняем их.

Очевидно,

поэтому треугольник не получится остроугольным. Значит, единственный возможный ответ

Ответ:

a) Так как AH перпендикулярно BD и H — середина AE, то Заметим, что опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Более того, следовательно, CB параллельно FA. Тогда четырехугольник FCBA — вписанная в окружность трапеция, что означает, что она равнобедренная. Поэтому Следовательно, и CF параллельно BE, ведь соответсвенные углы и равны. Таким образом, четырехугольник BCFE — параллелограмм.

б) Треугольник ADE — равнобедренный, так как AH перпендикулярно BD и H — середина AE. Тогда Заметим, что как вертикальные и как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Тогда треугольник CFE — равнобедренный, Найдем катет BH по теореме Пифагора, он равен Найдем DH по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд:

Имеем:

Ответ:

а) По условию диагонали четырехугольника ABEC делятся точкой пересечения пополам, поэтому он параллелограмм и прямая AB параллельна прямой CE

б) Если параллелограмм вписан в окружность, то он прямоугольник, поэтому Кроме того, BC — диаметр окружности, а M — ее центр. Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Обозначим Тогда Применим теорему о равенстве произведений отрезков хорд:

поэтому Далее:

поэтому Значит,

Итак, тогда

Ответ: