Всего: 17 1–17
Добавить в вариант
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.
б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.
Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга на три равные части.
а) Докажите, что эти хорды равны.
б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E, F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен
В треугольнике АВС AB = BC = 10, AC = 12. Биссектриса угла ВАС пересекает сторону BC в точке D и описанную около треугольника окружность в точке P.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠BDP.
б) Найдите отношение площадей треугольников ADB и BDP.
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°.
а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE.
б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, если известно, что BE = 40 и CE = 24.
Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.
В треугольнике ABC длина AB равна 3, хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что
площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.
а) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C.
б) Найдите площадь треугольника KNC.
Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС = 2АС, Е — точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE = 1.
а) Докажите, что AE || BC.
б) Найдите длину стороны АС.
В треугольнике АВС АС = 12, ВС = 5, АВ = 13. Вокруг этого треугольника описана окружность S. Точка D является серединой стороны АС. Построена окружность S1, касающаяся окружности S и отрезка АС в точке D. Найдите радиус окружности S1.
Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.
а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.
б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.
Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.
а) Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ = АК = KD =
Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BС. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках Р и К.
а) Докажите, что прямые РК и ВС перпендикулярны.
б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АD = 20, BC = 6, AB = 16, DC = 14.
В треугольнике ABC угол B равен 60°. Через точки A и B проведена окружность радиуса 3, касающаяся прямой AC в точке A. Через точки В и С проведена окружность радиуса 4, касающаяся прямой AC в точке C.
а) Найдите длину стороны АС.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей.
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно.
а) Докажите, что точка E есть центр вневписанной окружности для треугольников OCB, где O — точка пересечения прямых CD и AB.
б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а площадь треугольника BCE равна 11.
Через вершины А и С прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) проведена окружность с центром в точке О, касающаяся прямой AB и пересекающая продолжение стороны BC в точке E.
а) Докажите, что сумма углов AOE и AOC равна 180°.
б) Найдите диаметр окружности, если известно, что BE = 5, AC = 6.
Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9.
а) Докажите, что BE > BD.
б) Найдите диагональ BD.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причем сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке Е, а окружность — в точке F, причем H — середина AE.
а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что AB = 3 и
Продолжения медиан AM и BK треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и F соответственно, причем
а) Докажите, что прямая AB параллельна прямой CE.
б) Найти углы треугольника ABC.