Поиск
'



Всего: 48    1–20 | 21–40 | 41–48

Добавить в вариант

Задания Д12 C4 № 505637

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что AO= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 .

б) Найдите длину отрезка CE.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие

Задания Д12 C4 № 511886

В треугольнике ABC проведена биссектриса CM, касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке P.

А) Докажите, что BC : AC = CP : AP.

Б) Найдите длину CP, если известно, что AM = 5, BM = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 116.

Задания Д12 C4 № 505861

Дан треугольник АВС, в котором \angle ABC=\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . В треугольник вписана окружность, которая касается сторон AC, CB, BA в точках K, T и M соответственно. Прямая AT пересекает окружность в точке L, причем AL = 2. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого AT, а другая содержит точку касания окружностью треугольника АВС, если AK = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 3.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Задания Д12 C4 № 511233

К двум окружностям с центрами O1 и O2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.

а) Докажите, что около четырехугольника O1AO2B можно описать окружность.

б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O1O2 = 15.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 124.
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие

Задания Д12 C4 № 521420

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.

б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 208.
Классификатор планиметрии: Многоугольники, Подобие

Задания Д12 C4 № 508193

Окружность касается стороны АВ параллелограмма ABCD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D.

а) Докажите, что DN = CM.

б) Найдите DN, зная, что AM = 9, BN = 16, BC = 18.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 105.

Задания Д12 C4 № 527550

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину K, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A. Известно, что ML=9 корень из { 3}, KA:LB=5:6.

а) Найдите угол K треугольника KLM.

б) Найдите площадь треугольника KLM.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 268.
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Треугольники

Задания Д12 C4 № 513766

Окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC соответственно в точках D и E, точки A, D, E, C лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из точки А, если стороны AB и АС равны соответственно 5 и 2. 

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 147.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Задания Д12 C4 № 527453

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F — середина стороны AB, а точка G — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Известно, что FH:HE=2:3.

а) Докажите, что \angle HGE =\angle EDG.

б) Найдите \angle BCA.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 262.

Задания Д12 C4 № 505601

Точки A, B, C лежат на окружности радиуса 2 с центром O, а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B, причем угол AKC равен 46°, а длины отрезков AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию ( в указанном порядке).

а) Докажите, что углы ACK и AOK равны.

б) Найдите расстояние между точками A и C.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 42.
Классификатор планиметрии: Окружности

Задания Д12 C4 № 505703

В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Вторая окружность радиуса r, концентрическая с первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите  дробь, числитель — r, знаменатель — R .

 

Пояснение: концентрические окружности — это окружности, у которых совпадают центры.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 58.

Задание 16 № 509582

Окружность с центром O, расположенном внутри прямоугольной трапеции ABCD, проходит через вершины B и C большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны AD в точке T.

а) Докажите, что угол BOC вдвое больше угла BTC.

б) Найдите расстояние от точки T до прямой BC, если основания трапеции AB и CD равны 4 и 9 соответственно.

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

Задания Д12 C4 № 521824

Касательная в точке А к описанной окружности треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке Е, AD — биссектриса треугольника АВС.

а) Докажите, что АЕ = ЕD.

б) Известно, что точка Е лежит на луче СВ и СЕ = 9, ВЕ = 4,  косинус {AED}= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 . Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 235.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур

Задания Д12 C4 № 505595

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 41.
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Подобие

Задания Д12 C4 № 511212

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, которая касается гипотенузы AB в точке K, а катетов — в точках P и M.

а) Докажите, что площадь треугольника ABC равна AK · BK.

б) Найдите площадь треугольника PKM, если известно, что AK = 12, BK = 5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 121.
Классификатор планиметрии: Треугольники

Задания Д12 C4 № 512004

Окружность ω1 с центром O1 и окружность ω2 с центром O2 касаются внешним образом. Из точки O1 к ω2 проведена касательная O1A, а из точки O2 к ω1 проведена касательная O1B (А и В — точки касания).

А) Докажите, что углы O1AB и O1O2B равны.

Б) Найдите площадь четырехугольника O1O2AB, если известно, что точки касания А и В лежат по одну сторону от прямой O1O2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120.

Задания Д11 C4 № 507379

Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 8 равно 15. Этих окружностей и их общей внутренней касательной касается третья окружность. Найдите её радиус.


Аналоги к заданию № 507379: 511423 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей

Задания Д12 C4 № 521450

В треугольнике АВС точка М — середина АС.

а) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС.

б) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 212.
Классификатор планиметрии: Многоугольники

Задания Д12 C4 № 506041

Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки A и B — точки касания). Найдите расстояние между точками A и B.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 33.
Классификатор планиметрии: Окружности

Задания Д12 C4 № 514889

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.  

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 164.
Классификатор планиметрии: Треугольники
Всего: 48    1–20 | 21–40 | 41–48