Первый способ. Пусть ABCDP —‍ данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P,‍ AB = BC = CD = AD = a,‍ M —‍ центр квадрата ABCD,‍ K —‍ середина отрезка AB.‍

Поскольку PK ⊥ AB‍ и MK ⊥ AB,‍ угол PKM —‍ линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP‍ и плоскостью основания пирамиды. По условию ∠PKM = 45‍°.‍

Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM —‍ высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM‍ находим, что

Пусть α —‍ угол бокового ребра с плоскостью основания пирамиды. Из прямоугольного треугольника AMP‍ находим, что

Тогда

Поскольку центр описанной сферы равноудалён от вершин основания ABCD,‍ он лежит на прямой PM.‍ Рассмотрим сечение пирамиды ABCDP‍ плоскостью, проходящей через точки A,‍ P‍ и C.‍ Получим треугольник APC,‍ около которого описана окружность с центром, лежащим на высоте PM,‍ причём радиус R‍ этой окружности равен радиусу сферы, описанной около пирамиды ABCDP,‍ а так как то

Второй способ. Пусть ABCDP —‍ данная правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P,‍ AB = BC = CD = AD = a,‍ M —‍ центр квадрата ABCD,‍ K —‍ середина отрезка AB.‍

Поскольку PK ⊥ AB‍ и MK ⊥ AB,‍ угол PKM —‍ линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани ABP‍ и плоскостью основания пирамиды. По условию ∠PKM = 45‍°.‍

Поскольку пирамида правильная, её высота проходит через центр основания, значит, PM —‍ высота пирамиды. Из равнобедренного прямоугольного треугольника PKM‍ находим, что

Пусть прямая PM‍ вторично пересекает описанную сферу в точке Q.‍ Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через точки A,‍ P‍ и Q.‍ Получим окружность радиуса R‍ (радиус сферы), с центром на отрезке PQ.‍ Поскольку PQ —‍ диаметр окружности, треугольник APQ —‍ прямоугольный, а AM —‍ его высота, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому AM‍² = PM · MQ = PM(2R − PM),‍ или ‍ откуда находим, что ‍‍

Ответ: ‍‍

Пусть МН — высота правильной четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной М. тогда треугольник АМН прямоугольный. МA = 10, МН = 6, откуда

Треугольник АВН прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике AMB высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН высота

Центр О сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте MH, точка K касания сферы и боковой грани АМВ лежит на отрезке MN. Треугольники MOK и MNH подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Пусть — высота правильной четырёхугольной пирамиды с вершиной тогда треугольник — прямоугольный, откуда

Треугольник — прямоугольный равнобедренный, следовательно, В треугольнике высота

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота

Центр сферы, вписанной в правильную четырёхугольную пирамиду, лежит на её высоте точка касания сферы и боковой грани лежит на отрезке Треугольники и подобны, поэтому

где — радиус сферы.

Площадь сферы

Ответ:

Пусть PABCD —‍ правильная четырёхугольная пирамида с вершиной P,‍ M —‍ центр основания ABCD,‍ K —‍ середина ребра AB.‍ Обозначим AB = a,‍ ∠MAP = φ.‍

Так как PK —‍ высота равнобедренного треугольника APB,‍ то

Из прямоугольного треугольника AMP‍ находим, что

Тогда

(угол MAP —‍ острый).

Пусть R —‍ искомый радиус. Рассмотрим сечение пирамиды и описанной около неё сферы плоскостью, проходящей через точки A,‍ P‍ и C.‍ Получим равнобедренный треугольник APC,‍ вписанный в окружность радиуса R.‍ По теореме синусов

Ответ:

а) Пусть отрезок  — высота пирамиды отрезок  — средняя линия треугольника (см. рисунок).

Поскольку  — правильная пирамида, точка  — центр квадрата значит, и откуда Но, следовательно, Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Таким образом, утверждение задачи доказано.

б) Прямая  — проекция прямой на плоскость значит, угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и прямой то есть острому углу прямоугольного треугольника

Примем длину ребра данной пирамиды за тогда медиана равностороннего треугольника и, следовательно,

Ответ:

Прямая S₁M пересекает медиану AO треугольника ABD в точке T так, что АТ : TO = 2 : 1, поскольку T — точка пересечения медиан треугольника SAS₁ и O — точка пересечения диагоналей основания ABCD, так как пирамида SABCD правильная.

Следовательно, AT : TC = 1 : 2. Точка L делит отрезок BC в отношении BL : LC = 1 : 2, следовательно, треугольники ACB и TCL подобны с коэффициентом подобия k = AC : TC = BC : CL = 3 : 2, так как они имеют общий угол с вершиной C и стороны AC и BC в треугольнике ABC пропорциональны сторонам TC и LC треугольника TCL, заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне AB основания пирамиды SABCD. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону AD в точке P.

Сторона сечения, проходящая через точку M в плоскости SAB, параллельна прямой AB, так как плоскость S₁LM пересекает плоскость SAB и проходит через прямую PL, параллельную плоскости SAB. Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB в точке K. Тогда сечение PMKL — равнобокая трапеция, поскольку AP = BL и AM = BK.

Большее основание LP трапеции равно 6, поскольку ABCD — квадрат. Второе основание MK трапеции равно 3, поскольку MK — средняя линия треугольника SAB. Значит, средняя линия трапеции равна

Ответ: б) 4,5.

а) Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Поскольку заданная четырёхугольная пирамида правильная, ее вершина проецируется в точку пересечения диагоналей лежащего в основании квадрата. Поэтому проекцией прямой PB на плоскость основания является прямая BD. Найдем угол PBD.

Пусть M — середина PD. Так как прямая BM лежит в плоскости сечения, перпендикулярного PD, отрезки BM и PD перпендикулярны, то есть в треугольнике BPD медиана BM является высотой. Значит, BP = BD, но, так как PB = PD, треугольник BPD равносторонний, а поэтому

б) Из доказанного следует, что и как высота равностороннего треугольника BPD. Применяя теорему косинусов к треугольнику APD, получаем откуда Пусть BKML — указанное сечение (точка K лежит на ребре PA, а точка L — на ребре PC). Так как отрезки KM и PD перпендикулярны, Аналогично находим Значит, а потому треугольник PKL подобен треугольнику PAC. Поэтому Кроме того, прямые KL и AC параллельны, а прямые AC и BM перпендикулярны, так как AC перпендикулярна плоскости BPD, а BM лежит в этой плоскости. Значит, по теореме о трех перпендикуляках, прямые KL и BM перпендикулярны. Поэтому искомая площадь

Ответ:

а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. Так как PD = CQ, то PDCQ — параллелограмм, Поскольку , то

Тогда , то есть Так как , и , так как пирамида правильная, то , следовательно,

Поскольку и , то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC . Тогда

По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами расстояние от точки D до плоскости SBC, в 1,5 раза больше чем от точки M. Значит, , из чего следует, что , тогда

Ответ:б)

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Так как плоскость α параллельна ребру MC, она пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, KL — средняя линия треугольника BMC и L — середина BC. Так как QK || AB плоскость α пересекает основание ABC пирамиды по средней линии, поэтому плоскость α проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Таким образом, искомая площадь

Ответ:

Примечание.

В задаче рассматривается сечение треугольной пирамиды MABC, а не четырехугольной пирамиды MABCD.

Сторона основания пирамиды равна Тогда диагональ основания

а) Пусть — высота пирамиды. Тогда — середина основания пирамиды. Значит, — искомая прямая.

б) Площадь сечения, проходящего через и диагональ равна откуда Пусть — высота грани Тогда

Следовательно, Поэтому

Ответ: 192.

Пусть — середина а — середина Тогда площадь сечения равна площади треугольника Найдем последовательно и и — медианы треугольников и соответственно. Так как эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),

Найдем теперь из прямоугольного треугольника В нем катеты равны Гипотенуза по теореме Пифагора, будет равна

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника Для этого проведем высоту которая, по теореме Пифагора, равна и вычислим площадь:

Ответ:

а) Соединим точки B и D отрезком. Проведем плоскость через точки S, B и D, не лежащие на одной прямой. Сечение построено. Это — треугольник BSD. Но таких сечений будет два: можно было бы построить также сечение, проходящие через АС — диагональ основания. Поскольку диагонали квадрата (основания) равны, боковые ребра правильной пирамиды также равны, то получим два равных решения. Для нашего случая достаточно взять одно решение: треугольник BSD

б) Проведем высоту пирамидыSO, O — точка пересечения АС и BD.

Для удобства дальнейших вычислений пусть сторона квадрата ABCD будет равна Тогда

В по теореме косинусов будем иметь:

Ответ:

а) Поскольку средняя линия треугольника , Но по теореме о трех перпендикулярах — проекция на плоскость основания пирамиды — прямая Значит, и то есть

б) Пусть Тогда , Кроме того, , откуда Тогда высота боковой грани пирамиды и площадь поверхности пирамиды

Ответ: 192.

а) Пусть O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра AD, отрезки AO и DQ пересекаются в точке K, а отрезки MO и DQ пересекаются в точке N. Тогда MO — средняя линия в треугольнике ADB, а NO — средняя линия в треугольнике QDB. Значит,

Таким образом, треугольники AKQ и OKN равны. Следовательно, точка K — середина отрезка AO. Значит, прямая PK содержит среднюю линию треугольника ASO, поэтому она перпендикулярна плоскости основания пирамиды SABCD. Плоскость DPQ содержит прямую PK, поэтому она тоже перпендикулярна плоскости основания.

б) Пусть сторона основания пирамиды равна а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

откуда Площадь сечения DPQ равна

Ответ: б)

а) Пусть O — центр основания пирамиды (рис.1), точка M — середина ребра AD, отрезки AO и DQ пересекаются в точке K, а отрезки MO и DQ пересекаются в точке N (рис.2). Тогда MO — средняя линия в треугольнике ADB, а NO — средняя линия в треугольнике QDB. Значит,

Таким образом, треугольники AKQ и OKN равны. Следовательно, точка K — середина отрезка AO. Значит, прямая PK содержит среднюю линию треугольника ASO, поэтому она перпендикулярна плоскости основания пирамиды SABCD. Плоскость DPQ содержит прямую PK, поэтому она тоже перпендикулярна плоскости основания.

б) Пусть сторона основания пирамиды равна а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна

откуда Площадь сечения DPQ равна

Ответ: б)

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Так как плоскость α параллельна ребру MC, то KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника AMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB, и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой параллельной AB — средней линии треугольника АВС и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма

Ответ:

Примечание от Олега Берковского.

Площадь сечения можно найти проще. Легко доказывается, что сечение KLOQ является ромбом со стороной 3. Меньшая диагональ КО данного ромба также равная 3 (можно получить, рассмотрев треугольник МОВ). Следовательно ромб состоит из 2-х равносторонних треугольников со стороной 3. Значит острый угол ромба равен 60 градусов.

Отсюда площадь ромба

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна Пусть SM — высота грани SAB. Тогда поэтому SM = 9. Пусть SH — высота пирамиды. Имеем

Тогда

Ответ: 36.

а) Очевидно, проекция L на плоскость ABCD лежит на AC, поэтому проекция OL на плоскость основания пирамиды совпадает со второй диагональю (AC) и перпендикулярна OB, тогда по теореме о трех перпендикулярах и

б) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам AD, AB и параллельно высоте SO (обозначим ее длину за ). Тогда координаты точек будут и Найдем угол между ними по формуле

По условию, этот же косинус равен с точностью до знака.

Решаем уравнение

Итак, высота пирамиды равна поэтому апофема равна и площадь поверхности равна

Ответ: 80.

а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота и, следовательно, медиана, T — середина SM.

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно, откуда

Ответ: б)

а) Пусть T — точка на ребре SC, для которой Тогда поэтому точки P, Q, M, T лежат в одной плоскости и PQMT — сечение. Поскольку прямая TM параллельна прямой PQ и оно является трапецией.

Далее, поэтому треугольники MDQ и TCP равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, и трапеция равнобедренная.

б) Обозначим объем пирамиды за V и вычислим

Поэтому отношение объемов равно

Ответ: б)