Поиск
'



Всего: 82    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–82

Добавить в вариант

Задания Д7 C2 № 511266

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B1, B, C1 составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 129.

Задания Д7 C2 № 512002

В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC — основание) M — точка пересечения медиан грани PBC.

а) Докажите, что прямая AM делит высоту РО пирамиды в отношении 3 : 1, считая от точки P.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках А, В, M, P, ели известно, что AB = 12, PC = 10.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120.
Методы геометрии: Метод координат

Задания Д7 C2 № 512424

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр ABCDс прямыми плоскими углами при вершине D.Площади граней BCD, ACD и ABD равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 132.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Тетраэдр

Задания Д7 C2 № 512452

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) Докажите, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плоскости.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B, C1, D и A1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 136.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Прямоугольный параллелепипед

Задание 14 № 513094

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

Задания Д7 C2 № 513205

Через ребро BC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 под углом 60° к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью α равна 14 корень из { 3}, а высота призмы равна 3.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 1 : 3, считая от точки B1.

б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы ABCA1B1C1 плоскостью α.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 142.

Задания Д7 C2 № 513226

В правильной треугольной пирамиде PABC к основанию ABC проведена высота РО. Точка K — середина СО.  

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, P и K делит ребро BC в отношении 1:4. 

б) Найдите объем большей части пирамиды PABC, на которые ее делит плоскость APK, если известно, что AB=2 корень из 3 , PC=2 корень из 5 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 145.

Задание 14 № 513920

В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.

а) Докажите, что AD = BC.

б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике — 2016. Досрочная волна, резервный день, вариант А. Ларина (часть С).

Задания Д7 C2 № 514887

В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб с диагоналями АС = 8 и ВD = 6. Боковое  ребро BB1 равно 12. На  ребре BB1 отмечена точка M так, что BM : B1M = 1 : 7.

а) Докажите, что прямая MD перпендикулярна плоскости АСD1

б) Найдите объем пирамиды MACD1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 164.

Задания Д7 C2 № 515106

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М  так, что МА : МР = 9 : 16. 

а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.  

б) Найдите объем пирамиды МАВС.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.

Задания Д7 C2 № 515202

В правильной пирамиде PABC точки  ЕFKMN — середины ребер АСВСРАРВ и РС соответственно. 

А) Докажите,  что  объем  пирамиды  NEFMK  составляет  четверть  объема  пирамиды PABC

Б) Найдите  радиус  сферы,  проходящей  через  точки NЕFMK, если  известно, что АВ = 8, АР = 6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 170.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Правильная треугольная пирамида

Задание 14 № 517500

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA1D1D и CC1D1D соответственно.

а) Докажите, что B1KLM — правильная пирамида.

б) Найдите объём B1KLM.

Источник: Задания 14 (C2) ЕГЭ 2017, ЕГЭ — 2017. Основная волна 02.06.2017. Вариант 991 (C часть).

Задание 14 № 517830

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB = AA1.

а) Докажите, что прямые A1C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A1C = BD = 2.

Источник: ЕГЭ — 2017. Резервный день 28.06.2017. Восток (C часть).

Задания Д7 C2 № 521175

В правильной треугольной пирамиде SABC, точки P, Q, R лежат на боковых ребрах AS, CS и BS, причем  дробь, числитель — SP, знаменатель — AP = дробь, числитель — CQ, знаменатель — QS = дробь, числитель — SR, знаменатель — RB =2.

а) Доказать, что объемы пирамид SPRQ и SABC относятся как 4 : 27.

б) Найти объем пирамиды CPQR, если AB  =  2 и SA  =  3.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 184.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Правильная треугольная пирамида

Задания Д7 C2 № 521479

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 4, СС1 = 8. Точка К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP : PD1 = 3 : 5.

а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой 1.

б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 214.

Задания Д7 C2 № 521550

В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный AB. Построено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярно прямой CD так, что точка C и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

б) Найдите объём пирамиды CABNM.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 219.

Задания Д7 C2 № 521915

В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.

а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD.

б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что PB= корень из { дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 238.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Треугольная пирамида

Задания Д7 C2 № 526922

В основании прямой призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=AC.

а) Докажите, что объем пирамиды A_1BCC_1B_1 составляет  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 объема призмы.

б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды A_1BCC_1B_1, если известно, что AB=5, BC=6, AA_1=15.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 198.
Классификатор стереометрии: Объем тела, Описанный шар, Прямая призма, Шар

Задания Д7 C2 № 527451

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, длина стороны которого равна  корень из { 3}. Основанием высоты, опущенной из вершины S, является точка О, лежащая внутри треугольника ABC. Расстояние от точки О до стороны АС равно 1. Синус угла OBA относится к синусу угла OBC как 2:1. Площадь грани SAB равна  корень из { дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 }.

а) Найдите объем пирамиды.

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости SBC.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 262.

Задания Д7 C2 № 527569

В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 сторона основания AB равна 6, а боковое ребро AA_1 равно 3. На ребре B_1C_1 отмечена точка L так, что B_1L=1. Точки K и M — середины ребер AB и A_1C_1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 271.
Всего: 82    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–82