Всего: 82 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар.
а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара.
б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса.
В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция АВСD с основаниями BC и АD. Точка К — середина ребра
. Плоскость α проходит через середины ребер AB и
параллельно прямой
.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью α является равнобедренная трапеция.
б) Найдите объем большей части призмы, на которые ее разбивает плоскость , если известно, что
.
В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.
В конус вписан цилиндр так, что нижнее основание цилиндра лежит на основании конуса, а окружность верхнего основания принадлежит боковой поверхности конуса. Объем конуса равен 72.
а) Найти объем цилиндра, верхнее основание которого делит высоту конуса пополам.
б) Найти наибольший объем вписанного цилиндра.
В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция АВСD с основаниями АD = 30, ВС = 12 и боковой стороной АВ = 15. Через точки
и С проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β делит объем призмы в отношении 2 : 5.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке А, основанием которой является сечение призмы плоскостью β, если известно, что
В прямоугольном параллелепипеде точка K лежит на ребре
так, что
Плоскость α, проходящая через точки K и
параллельно прямой
, пересекает ребро
в точке Р.
а) Докажите, что .
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью α, а вершиной точка , если известно, что
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q середина ребра BC.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MQP — равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MQP разбивает пирамиду.
В правильной треугольной пирамиде РABC (Р — вершина) точка М лежит на ребре РС так, что . Точка K лежит на прямой АВ так, что
. Точка В находится между точками A и K.
а) Докажите, что прямые АM и СK перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды АМСК, если известно, что АВ = 2, АР = 3.
Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD. Через сторону AB и середину K бокового ребра проведена плоскость. Найти отношение объемов получившихся частей.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, AC = 6, AA1 = 8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая ребра BB1 и CC1 соответственно в точках M и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если известно, что BM = MB1, а AN является биссектрисой угла CAC1.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — середина ребра BB1, точка P — середина ребра C1D1. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α пересекает ребро CC1 в такой точке М, что MC : MC1 = 1 : 2.
б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые данную призму делит плоскость α.
Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.
На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.
Сечение SAB, проходящее через вершину S прямого кругового конуса, имеет площадь 60. Точки A и B, лежащие на окружности основания конуса, делят ее длину в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен
Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.
а) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).
б) Найдите объем данной пирамиды.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1С перпендикулярна прямой AC1.
б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и B1D1C, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину
как определили что высота треугольника А1В1С1 и высота призмы В1А1С1NM равны 3sqrt3?
Высота в правильном треугольнике со стороной 6