Изобразим осевое сечение комбинации заданных тел (см. рисунок).

а) Пусть образующая конуса равна 2а, высота — 2r. Тогда: полная поверхность конуса

Ясно, что 2r — это диаметр шара.

Выразим зависимость r и a.

Поверхность шара

Итак, что и требовалось доказать.

б) Часть конуса, которая лежит внутри шара (объем этого тела обозначим V₁)представляет собой объединение:

другого равностороннего конуса, осевым сечением которого является ΔMBN (его объем обозначим V_k1, высоту — h_k1);

шарового сегмента MDN (объем обозначим V_σ), высота h_σ которого равна

Очевидно,

Часть шара, лежащая вне конуса (объем обозначим V₂), есть дополнение только что рассмотренного геометрического тела до построенного шара (объем обозначим V_ш).

Ответ:

а) Обозначим середины за соответственно. Поскольку  — средняя линия треугольника она параллельна поэтому точка лежит в сечении. Проведем в нижнем основании. Это средняя линия треугольника поэтому ее продолжение — средняя линия трапеции Следовательно, плоскость сечения параллельна BC. Проведем через точку прямую, параллельную (это KT). Тогда KMNT — искомое сечение. Поскольку в нем KT, BC и MN параллельны, это трапеция. А поскольку треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (призма прямая), то и то есть трапеция равнобедренная.

б) Заметим, что Высота трапеции равна

Найдем объем тела Сначала найдём объём тела KBCNM:

Теперь найдём объём тела NKTC:

Тогда объем тела KTCNMB равен Объем всей призмы равен

поэтому объем большей части равен 1416.

Ответ: 1416.

Пусть — осевое сечение конуса, О — центр шара, вписанного в этот конус, E — точка касания шара и конуса.

Из условия задачи следует, что — равнобедренный (AB = BC). Очевидно, что точка О лежит на биссектрисе которая также служит медианой и высотой

Введем обозначения:

l — образующая конуса (отрезки AB и BC); R — радиус основания конуса (отрезок AD); H — высота конуса (отрезок BD); r — радиус шара (отрезок OE); — площадь сферы (площадь поверхности шара); — полная поверхность конуса; — объем шара; — объем конуса.

Очевидно, что Рассмотрим прямоугольные треугольники BEO и BDA с общим острым углом OBE. Отсюда: т. е.

Найдем отношение объема шара к объему конуса:

Теперь найдем отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности конуса:

Однако, оказалось, что Значит,

Поскольку нам требуется найти отношение удвоенного объема шара к объему заданного конуса, то таким отношением будет 24 : 49.

Ответ: 24 : 49.

а) Обозначим радиус основания конуса за высоту за за и  — радиус и высоту цилиндра. Проведем осевое сечение конуса. В нем верхнее основание цилиндра будет средней линией треугольника, поэтому радиус цилиндра вдвое меньше радиуса конуса. Высота цилиндра — тоже половина высоты конуса. Объем конуса равен:

отсюда:

б) В осевом сечении образуются два подобных треугольник (см. рисунок). Значит,

Значит, Объем цилиндра равен:

Нужно максимизировать Возьмем производную по

Крайние значения можно не проверять ( или там объем равен нулю). Имеем:

Ответ: а) 27; б) 32.

а) Отметим на точку так, чтобы прямая CT была параллельной прямым AB и Эта точка тоже лежит в плоскости сечения и сечение — четырехугольник Поскольку прямая параллельна прямой (пересечение плоскости с двумя параллельными плоскостями), тело  — наклонная призма с основанием и высотой, равной расстоянию между плоскостями, то есть высоте трапеции:

Тогда

а объем всей исходной призмы равен

Значит, объем другой части равен и отношение объемов что и требовалось доказать.

б) Имеем:

Ответ:

а) Отметим на продолжении за точку точку так, чтобы Тогда прямая параллельна прямой поэтому лежит в плоскости сечения. Проведем до пересечения с в точке Тогда треугольники и подобны с коэффициентом Значит,

что и требовалось доказать.

б) Продолжим до пересечения с в точке Треугольники и подобны с коэффициентом поэтому Соединим и Пусть пересекает в точке Тогда

поэтому точка делит в отношении искомое сечение. Теперь найдем объем тела

Ответ: б) 14.

Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен

Ответ:

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMNCQ состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до BCD вдвое меньше расстояния от A до BCD, а площади треугольников QCN и BCD, по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом, относятся как 1 : 6. Значит,

Площадь треугольника MBN составляет площади ABC. Значит, Расстояние от точки P до ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC, поэтому

Таким образом, то есть

Ответ: 13 : 23.

а) Пусть плоскость MPQ пересекает SC в точке N. Так как PD = CQ, то PDCQ — параллелограмм, Поскольку , то

Тогда , то есть Так как , и , так как пирамида правильная, то , следовательно,

Поскольку и , то MNQP — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

б) Заметим, что расстояние от точки M до плоскости ABC втрое меньше расстояния от точки S до плоскости ABC . Тогда

По теореме об отношении площадей треугольников с равными углами расстояние от точки D до плоскости SBC, в 1,5 раза больше чем от точки M. Значит, , из чего следует, что , тогда

Ответ:б)

а) Заметим что проекция на плоскость основания — прямая где  — точка, делящая отрезок от вершины до точки пересечения медиан в отношении Значит, она делит медиану в отношении Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна и воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах:

б) Имеем:

Высота пирамиды будет равна:

Объём тела ABCD равен:

Таким образом,

Ответ:

Построим сначала сечение пирамиды этой плоскостью. Для этого проведем в гранях SAC и SBC прямые, параллельные SC и проходящие через точки D и E. Пусть они пересекают AC и BC в точках G и F соответственно. Тогда DEFG — искомое сечение. Из параллельности, кроме того, следует, что Найдем теперь объем одной из частей, выразив его через объем всей пирамиды:

Поэтому отношение объемов равно 7 : 20.

Ответ: 7 : 20.

Обозначим объем всей пирамиды за V. Пусть S — вершина пирамиды, а K и L — середины ребер SC и SD соответственно. Тогда поэтому сечение пирамиды — трапеция ABKL.

Значит, объем нижней части равен и ответ 3 : 5.

Ответ: 3 : 5.

Пусть тогда откуда

Объем призмы

В пирамиде ACNMB основанием является трапеция CNMB,

Высота пирамиды h — расстояние от точки A до плоскости CNB,

Тогда

Объем оставшейся части

Поэтому отношение объемов частей равно

Примечание. Можно доказать, что ответ для плоскости, пересекающей боковые ребра в точках K, M, N соответственно, будет В нашей задаче K совпадает с A и ответ

Ответ:

а) Построение: M — середина A₁B₁. Отрезки MP, MK. N — середина CC₁. Отрезки NK, NP.

Четырехугольник KMPN — искомое сечение. Докажем это.

Ясно, что через три точки K, M, P, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Отрезки MK и PN — линии пересечения параллельных граней AA₁B₁ и DD₁C₁ параллелепипеда секущей плоскостью обязаны быть параллельными. В прямоугольных треугольниках MB₁K и PC₁N следовательно, MB₁ = PC₁, B₁K = C₁N — по условию и способу построения точек M и N. Отсюда: MK = PN. Из параллельности MK и PN, а также из их равенства следует, что KMPN — параллелограмм (по известному признаку параллелограмма). А это значит, что точка N лежит в плоскости (KMP).

Теперь докажем, что (KMP) || BD₁. Соединим точки D₁ и B₁ отрезком, построим середину этого отрезка и обозначим L. В ΔBD₁B₁, где LK — средняя линия по условию и способу построения точки L. Следовательно, LK || BD₁. Так как LK ⊂ (KMP), то (KMP) || BD₁ по признаку параллельности прямой и плоскости.

Докажем, что KMPN — прямоугольник. Для этого поместим параллелепипед в декартову систему координат, направив ось y — по DC, ось x — по DA, ось z — по DD₁. Будем иметь: M(8; 4; 6), K(8; 8; 3), N(0; 8; 3). MK = (0; 4; −3), KN = (−8; 0; 0). MK · KN = 0 · (−8) + 4 · 0 − 3 · 0 + = 0.

Таким образом, MK ⊥ KN. Нетрудно получить, что

б) Рассмотрим прямую треугольную призму MKB₁PNC₁.

Объем равен:

Искомый же объем ΔV = 384 − 48 = 336.

Ответ: а) 40; б) 336.

а) Пусть T — точка пересечения прямых и Поскольку перпендикулярна а треугольник  — прямоугольный с углом поэтому

Пусть M — точка пересечения прямых и Тогда треугольники и подобны с коэффициентом откуда Отсюда следует утверждение задачи.

б) Поставим на ребре точку так, чтобы Тогда по аналогичным причинам эта точка тоже лежит в сечении, а само сечение — пятиугольник

Пусть Тогда объем всей призмы равен Вычислим теперь объем верхней ее части — Обозначим за середину Отметим сразу, что перпендикуляр к плоскости сечения, проведенный из падает на (поскольку плоскость перпендикулярна плоскости сечения).

Поэтому объем нижней части равен и отношение объемов составит

Ответ: б) 19 : 35.

Пусть высота DH пирамиды ABCD с вершиной D является высотой боковой грани BDC. Предположим, что она проведена к боковой стороне. Пусть Заметим, что так как в противном случае ABCD, но высота правильного тетраэдра не совпадает с высотой его боковой грани. Из равенства всех граней пирамиды следует, что и высота DP равнобедренного треугольника ADC, опущенная на боковую сторону AC, равна высоте DH равнобедренного треугольника BCD, опущенной на боковую сторону BC, Но это невозможно, поскольку DH — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды, а DP — наклонная к этой плоскости, проведенная из той же точки. Таким образом, DH — высота равнобедренного треугольника BDC, проведенная к основанию.

Так как высота боковой грани совпадает с высотой всей пирамиды, то плоскость грани BCD перпендикулярна плоскости основания ABC. Введем обозначения: CD = BD = a, BC = b, DH = h (H — середина стороны BC, так как DH высота и медиана в р/б треугольнике DBC). Так как все грани являются равными треугольниками, то получаем, что AB = AC = a, AD = b, AH = h. Далее, докажем, что наибольшими противоположными ребрами пирамиды являются ребра AD и BC, выразив их через h. Из равнобедренного прямоугольного треугольника ADH по теореме Пифагора получаем:

Из треугольника DCH по теореме Пифагора получим:

Отсюда видно, что , то есть ребро b является наибольшим. Значит, расстояние 1, заданное по условию, — это расстояние между ребрами AD и BC. Так как плоскость (ADH) перпендикулярна прямой BC (), то расстоянием между AD и BC является перпендикуляр, опущенный из точки H на прямую AD в плоскости (ADH). Тогда соединяем H с серединой стороны AD — отрезок HK является медианой в равнобедренном треугольнике ADH, а следовательно, и высотой.

По теореме Пифагора из треугольника KDH получим:

Осталось найти объем пирамиды:

Ответ:

Для удобства будем считать, что куб единичный. Тогда отрезки AE и CF равны по В плоскости грани ABB₁A₁ продолжим прямую BE до пересечения с прямой A₁B₁, в плоскости грани BB₁С₁С продолжим прямую BF до пересечения с прямой B₁C₁. Полученные точки P и S лежат в одной плоскости грани A₁B₁C₁D₁. Соединяя их, получим точки M и N, как пересечения PS с ребрами A₁D₁ и D₁C₁ соответственно. Осталось соединить все точки, и в сечении получается пятиугольник BEMNF.

Треугольники A₁PE и ABE подобны по 2 углам (∠PEA₁ = ∠BEA, как вертикальные; ∠PA₁E = ∠EAB = 90°), тогда

Аналогично Далее, треугольники PA₁M и PB₁S подобны по 2-м углам, откуда получим:

Аналогично

Объем нужной нам части можно найти, как разность объемов прямоугольной пирамиды и прямоугольных пирамид и (так как эти малые пирамиды равны, то можно просто вычесть 2 объема одной пирамиды):

Тогда получим:

Ответ: 25 : 72.

Очевидно, точки A и B стягивают дугу 60°, поэтому отрезок AB равен радиусу основания конуса. Обозначим радиус за r, а длину образующей за l. Тогда Проведем высоту SC треугольника SAB. Тогда и поэтому и

Из условия на площадь имеем откуда

Тогда высота конуса равна и объем конуса равен

Ответ:

а) Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к основанию, следовательно, они вместе со своими проекциями и выстой пирамиды образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Таким образом, проекцией вершины является центр описанной окружности основания. Проведем через этот центр прямую, перпендикулярную основанию (она будет содержать высоту пирамиды). Построенная прямая — множество точек, равноудаленных от вершин основания. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную боковому ребру и проходящую через его середину. Все точки этой плоскости равноудалены от концов ребра. Точка пересечения этой плоскости и ранее построенной прямой будет равноудалена ото всех вершин пирамиды и потому является центром описанной сферы.

б) Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Опустим из вершины меньшего основания высоту h на большее основание, она разобьет основание на отрезки длиной 9 и 16. Тогда боковая сторона Чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг трапеции, удалим мысленно одну из вершин меньшего основания и найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника, вершинами которого являются три оставшиеся вершины трапеции. Высота трапеции Диагональ Значит, окружность описана около треугольника со сторонами 25, 15, 20. Он прямоугольный, значит, центр описанной окружности трапеции находится на большем основании, а ее радиус R = 12,5.

Таким образом, высота пирамиды падает в середину большего основания и вершина пирамиды вместе с концами большего основания образует равносторонний треугольник (два его угла по поэтому высота пирамиды Тогда объем пирамиды

Ответ: б)

а) Заметим, что поскольку проекция на грань ABCD (то есть AC) перпендикулярна BD. Аналогично Поэтому и по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Аналогично

б) Обозначим ребро куба за x. Тогда откуда

Тогда

C другой стороны,

Итак, Ясно, что и При этом поэтому отрезок диагонали, заключенный между плоскостями, равен откуда

Тогда объемы пирамид и равны откуда объем части куба между плоскостями равен

Ответ: 18.