Сделаем замену Поскольку , то и каждому такому соответствует единственное

Получаем задачу — при каких уравнение имеет корень, больший чем ?

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Задача свелась к ответу на вопрос: при каких значениях , горизонтальная прямая имеет пересечение с графиком функции правее вертикальной прямой (красная линия).

Получаем ответ: при

Сделаем замену Получим уравнение При выполненной замене количество корней не изменяется (каждому значению переменной t соответствует ровно одно значение переменной x). Поэтому новое уравнение также должно иметь ровно 4 решения.

Построим график этого уравнения в плоскости tOa

Прямые и разбивают плоскость на четыре части (I, II, III и IV), в каждой из которых график уравнения представляет собой часть параболы.

В области I оба подмодульных выражения положительны и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

В области II выражение отрицательно, а выражение положительно и уравнение принимает вид

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области III получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Для области IV получим

Графиком является парабола с вершиной в точке с координатами

Количество корней определяется количеством точек пересечения графика уравнения с горизонтальной прямой.

При	уравнение не имеет корней,
при	уравнение имеет один корень,
при	уравнение имеет два корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет четыре корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет четыре корня,
при	уравнение имеет три корня,
при	уравнение имеет два корня,
при	уравнение имеет один корень,
при	уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение имеет четыре корня при и при

Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, на координатной плоскости xОa. Гипербола и график корня пересекаются в точке A(2; 1). Гипербола и прямая пересекаются в точке График корня и прямая пересекаются в точке C(5; 2). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе (выделено штриховкой на рисунке), состоит из точек криволинейного треугольника ABC, не включая границу, лежащую на дуге АС.

Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке
[3; 4], осталось определить наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат. Проекции точек и дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [3; 4] при

Ответ:

Приведем аналитическое решение. Заметим, что искомыми могут быть только положительные значения параметра и запишем систему в виде

Заметим, что

и рассмотрим три случая.

Если то решением системы является полуинтервал имеющий общие точки с отрезком [3; 4].

Если то Тогда решением системы является отрезок Он существует, если

и пересекается с отрезком [3; 4] тогда и только тогда, когда

При этот отрезок вырождается в точку 4, система имеет единственное решение это решение лежит на отрезке [3; 4].

Если то В этом случае решением системы является полуинтервал Этот полуинтервал существует, если

и имеет общие точки с отрезком [3; 4] тогда и только тогда, когда

Объединяя рассмотренные случаи, получаем ответ:

Исходное уравнение равносильно уравнению при условии .

Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе неравенств, в координатной плоскости Oxa. Уравнение задает окружность радиуса 5 с центром в точке Прямая и окружность пересекаются в точках и Прямая и окружность пересекаются в точках и Неравенству удовлетворяет, например, точка A(5; 0) — центр окружности. Таким образом, множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, состоит из дуг BD и CE.

Прямая x = 2 пересекает окружность в точках (2; −4) и (2; 4). Прямая x = 6 пересекает окружность в точках и

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке при и

Ответ:

Преобразуем систему:

Первое неравенство задаёт на плоскости хОа квадрат, ограниченный отрезками прямых и а неравенство задаёт часть плоскости выше параболы с вершиной (−4; −4), ветви которой направлены вверх. Найдём координаты точки A пересечения параболы с прямой

Меньший корень соответствует точке пересечения, лежащей во второй четверти. Для большего корня справедливы неравенства:

поэтому абсцисса точки A лежит на отрезке [−1; 0], а сама точка лежит внутри вертикальной полосы, ограниченной прямыми x = −1 и х = 0. Тогда искомыми являются значения параметра, большие ординаты точки A, но не большие 4. Имеем:

Итак, система будет иметь решения при

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы

Если , то неравенство, а значит, и система не имеет решений.

Если , то решение неравенства — луч

Если , то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы принимает вид

Если , то решение этой системы — два луча с концами в точках

Если , то решение этой системы — полуинтервал с концами в точках

Отметим, что точки нет во множестве решений первого неравенства.

Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где большее из чисел и , а значит система будет иметь решение.

Для того, чтобы система не имела решений, при необходимо и достаточно:

Учитывая случай , получаем ответ.

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы

Если , то неравенство, а значит, и система не имеет решений.

Если , то решение неравенства — луч

Если , то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы равносильно системе

Если , то решение этой системы — два луча с концами в точках

Если , то решение этой системы — полуинтервал с концами в точках

Отметим, что точки нет в множестве решений второго неравенства.

Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где большее из чисел и , а значит система будет иметь решение.

Для того, чтобы система не имела решений, при , необходимо и достаточно:

Добавляя случай , получаем ответ.

Ответ:

Преобразуем неравенство:

Неравенство определяет на плоскости полосу, заключенную между прямыми и Неравенство задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой. Заметим, также, что последнее неравенство влечет также выполнение условия необходимого при снятии модуля, поскольку, при парабола лежит не ниже параболы

На рисунке видно, что на интервале есть , удовлетворяющие неравенству, только если

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы: Если то неравенство, а значит и система не имеет решений. Если то решение неравенства — луч Если то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы принимает вид:

Если то решение этой системы — два луча с концами в точках Если то решение этой системы — полуинтервал с концами в точках Отметим, что точки нет в множестве решений первого неравенства.

Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где большее из чисел и , а значит система будет иметь решение.

Для того, чтобы система не имела решений, при необходимо и достаточно:

Таким образом, при исходная система неравенств не имеет решений.

Ответ:

Рассмотрим второе неравенство системы: Если то неравенство, а значит и система не имеет решений. Если то решение неравенства — луч Если то решение неравенства — луч

При первое неравенство системы принимает вид:

Если то решение этой системы — два луча с концами в точках Если то решение этой системы — полуинтервал с концами в точках

Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где меньшее из чисел и , а значит система будет иметь решение.

Чтобы решения были при необходимо и достаточно:

Таким образом, исходная система неравенств имеет решения при

Ответ:

Изобразим множество точек, заданное системой неравенств

Искомое множество является пересечением части плоскости, лежащей внутри параболы, заданной уравнением и двух тупых углов, ограниченных прямыми и (см. рис., выделено жирным контуром).

Найдём абсциссы их точек пересечения:

Решим уравнение

Решим уравнение

Из рисунка следует, что система имеет решения для всех а, лежащих выше ординаты вершины параболы, но ниже точки пересечения параболы с прямой то есть для всех a из отрезка и для

Приведём другое решение.

Заметим, что при и при Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при При получаем:

откуда При исходная система принимает вид:

откуда

При любом выполнено неравенство поскольку Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что откуда Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4, а минимальное значение функции равно Значит, выполнено неравенство Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от до 4, и её значения в точке отрезка не превосходят значений функции Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одной решение при и

Ответ:

Уравнение равносильно следующей системе:

Рассмотрим первый случай, когда корни совпадают: Тогда корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ.

Рассмотрим второй случай, когда первый корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Рассмотрим второй случай, когда второй корень принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:

Приведем другое решение:

Уравнение равносильно следующей системе:

В плоскости xOa графиком системы (а значит и графиком исходного уравнения) будут отрезки прямых и , лежащие внутри круга, ограниченного окружностью .

Решение системы на отрезке [4; 8] на рисунке изображено синим цветом.

Найдём значения параметра (значения ординаты), при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [4; 8].

Для этого найдём ординату точки пересечения прямых и

Ординаты точек пересечения прямой и окружности найдём, подставив в уравнение окружности .

Таким образом исходное уравнение имеет на отрезке [4; 8] ровно один корень при

Ответ:

Преобразуем неравенство:

Неравенство определяет на плоскости полосу, заключенную между прямыми и Неравенство задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

На рисунке видно, что прямая пересекает параболу при это означает, что на интервале есть , не удовлетворяющие неравенству, только если

Ответ:

Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители:

Способ 1 (метод интервалов).

Так как знаменатель исходной дроби имеет корни и Если числа 2,  и  попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, и какие-то два совпали.

1. Если или то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: (см. рисунок 1).

2. Если то так как, согласно условию

В этом случае множеством решений данного неравенства является луч (см. рисунок 2).

Способ 2 (графоаналитический).

Данное неравенство задает на координатной плоскости Oxa три области (см. заштрихованные области на рисунке 3).

Множество решений данного неравенства при каждом значении a есть множество абсцисс всех точек этих областей, ордината которых равна a.

Это множество является лучом только при

Ответ:

Сделаем замену и заметим, что Очевидно, число решений системы будет совпадать с числом решений уравнения Очевидно, является его решением при всех a.

При уравнение сводится к Это уравнение имеет два положительных корня, если то есть при и один положительный корень при или

При уравнение сводится к Это уравнение имеет два отрицательных корня, если то есть при и один отрицательный корень при или

Значит, при система будет иметь два решения;

при система будет иметь три решения;

при система будет иметь четыре решения;

при система будет иметь три решения;

при система будет иметь четыре решения;

при система будет иметь три решения;

при система будет иметь два решения.

Поэтому нужное количество корней будет при

Ответ:

Преобразуем исходное неравенство:

Решим неравенство на интервале (1; 2):

пустое множество

пустое множество

Ответ:

Запишем уравнение в виде откуда или

Построим решения уравнения на координатной плоскости xOa.

На чертеже видно, что система имеет единственное решение при Найдем

Из системы получаем , откуда

Из системы получаем , откуда

Ответ:

Запишем уравнение в виде откуда или

Построим решения уравнения на координатной плоскости xOa.

На чертеже видно, что система имеет единственное решение при Найдем

Из системы получаем , откуда

Из системы получаем , откуда

Ответ:

Преобразуем исходное неравенство:

Решим неравенство на интервале (-2; -1):

пустое множество

пустое множество

Ответ:

Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители:

Так как знаменатель исходной дроби имеет корни и Если числа 3,  и  попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 3, и какие-то два совпали.

1. Если или то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: (см. рисунок 1).

2. Если то так как, согласно условию

В этом случае множеством решений данного неравенства является луч (см. рисунок 2).

Ответ: