Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c. Пусть окружность с центром O_c радиуса r_c касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому

а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром O_a радиуса r_a касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p. Четырехугольники NO_cMC и KO_aQC — квадраты, поэтому

значит, r_a < r_c.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что r_c = 17 и r_a = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр O_aF из центра меньшей окружности на O_cN. Тогда

Следовательно,

Пусть теперь r_b = 17 и r_a = 7. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O_a,C и O_b лежат на оной прямой. Следовательно,

Ответ: 26 или

а) Пусть b — боковая сторона треугольника, c — его основание, h —  высота, опущенная на основание треугольника.

Радиус вневписанной окружности вычисляется по формуле где p —  полупериметр треугольника, a —  сторона, которой касается окружность. Таким образом,

б) Пусть O₂ — центр вписанной окружности. Проведем радиус в точку касания H. Трегольники AMC и CHO₂ подобны по двум углам, поэтому

Так как то Тогда Найдем CH по теореме Пифагора. Получим, что

Тогда

Откуда получаем

Ответ: б)

Первый случай.

Центры O₁ и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1)

2) где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.

3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим откуда

Подставляя найденное значение S_ΔBCM в формулу S_ABCD, окончательно получаем

Второй случай.

Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R < r и в рассуждении они и треугольники BCM и ADM должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

Ответ: или

а) Пусть стороны треугольника По обратной теореме Пифагора он прямоугольный, поэтому его площадь полупериметр По формулам для радиусов вписанной и вневписанной окружности находим что и требовалось доказать.

б) По формуле для отрезков от вершины до точки касания с вписанной или вневписанной окружностью имеем:

Поскольку

Ответ: 3.

а) По формуле для отрезков от вершины до точки касания с вписанной или вневписанной окружностью имеем:

поэтому (если они перекрываются, то под модулем будет ), Значит,

б) Пусть тогда из первого пункта По формулам для радиусов вписанной и вневписанной окружности имеем:

Поэтому их отношение равно:

откуда:

Итак, стороны треугольника равны 10, 12, 14, по формуле Герона его площадь:

Ответ:

Первый случай.

Центры O₁ и O окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP соответственно, лежат на биссектрисе PO угла KPN. Окружность, вписанная в четырехугольник KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник KPN и вневписанной окружностью треугольника LMP.

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, следовательно, ∠LKN + ∠LMN = 180°. Но ∠LMP + ∠LMN = 180°, откуда ∠LKN = ∠LMP. Так как треугольники KPN и LMP имеют еще общий угол KPN, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1)

2) S_ΔLPM = pR, где p — полупериметр треугольника LPM равный длине отрезка AP, как сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

3) из прямоугольного треугольника OAP находим откуда

Подставляя найденное S_ΔLPM в формулу площади треугольника KPN, окончательно получаем

Второй случай.

Отличается от первого расположением точки P левее точек N и K. В этом случае R > r и в рассуждении они и треугольники LMP и KPN должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае KPN — меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружности r. Значит

S_KPN = rp, где p — полупериметр треугольника KPN равный отрезку PB. При этом, как и в первом случае, Таким образом

Ответ: или

а) Введём обозначения, как показано на рисунке, пусть M, H, N — точки касания. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны: AM = AN, CM = CH, HB = BN. Поэтому:

откуда p = AM.

б) Для определения площади треугольника используем формулу, связывающую её с полупериметром, стороной и радиусом вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других сторон треугольника:

Ответ:

Примечание: указанная в решении формула легко может быть получена из следующих соображений где O₁ — центр окружности с радиусом r_1. При этом

Тогда

а) Обозначим: тогда Радиус вписанной окружности равен а вневписанной Тогда:

что и требовалось доказать.

б) В обозначениях предыдущего пункта имеем: и

Из второго уравнения: Подставляя в первое, получаем: Тогда:

Ответ: б) 12.

а) По теореме косинусов, поэтому Теперь можем найти AM:

что и требовалось доказать.

б) По теореме косинусов, откуда Пусть искомый отрезок имеет концы на соответственно. Пусть тогда

Для треугольника данная окружность является вневписанной, поэтому ее радиус можно найти по формуле

C другой стороны, для исходного четырехугольника это вписанная окружность и ее радиус равен

поэтому

Ответ: б)

а) Проведем прямую CE параллельно BD. Тогда — параллелограмм, значит, то есть треугольник равнобедренный. При этом его высота равна половине основания, поскольку . Значит, она делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, то есть AC перпендикулярна CE. Тогда и AC перпендикулярна BD.

б) Продлим и до пересечения в точке Тогда треугольники и подобны с коэффициентом Значит, и их высоты отличаются в полтора раза, но разница между ними равна высоте трапеции, то есть Значит, высота равна Для треугольника указанная окружность является вневписанной, поэтому ее радиус можно найти по формуле Получаем:

Ответ: б)

Найдем диагональ AC. Опустим из вершин B и С на сторону AD перпендикуляры BE и СF соответственно. AE = FD, так как трапеция равнобедренная. BCFE — прямоугольник.

Возможны две геометрические конфигурации.

Первый вариант: окружность вписана в треугольник ACD:

Второй вариант: окружность касается продолжения сторон AC и AD за точками C и D соответственно и отрезка CD:

Ответ: 5 или 30.

Примечание.

Решение опирается на известную теорему: расстояние от вершины треугольника до точки касания исходящей из этой вершины стороны со вписанной в треугольник окружностью, равно разности полупериметра треугольника и стороны, противолежащей этой вершине.

а) Имеем:

Поэтому нужно, чтобы периметры треугольников и совпадали. Это невозможно, поскольку

б) Имеем: В треугольнике отрезок от вершины до точки касания с вписанной окружностью можно вычислить по формуле где  — полупериметр,  — противолежащая сторона. Получим:

Ответ: а) Нет; б) 5.