РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 12 № 77495 Добавить в вариант

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания;

3.2.5 Точки экстремума функции;

3.2.6 Наибольшее и наименьшее значения функции;

4.2.1 Применение производной к исследованию функций и построению графиков;

4.2.1.1* Наименьшее (наибольшее) значение функции во внутренней точке отрезка.

Наибольшее и наименьшее значение функций. Исследование тригонометрических функций

Найдите наименьшее значение функции $y= минус 14x плюс 7 тангенс x плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11$ на отрезке $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Найдем производную заданной функции:

$y'= дробь: числитель: 7, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 14= дробь: числитель: минус 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$ $y'= дробь: числитель: 7, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 14=$
$= дробь: числитель: минус 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = минус дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$ $y'= дробь: числитель: 7, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус 14=$
$= дробь: числитель: минус 7 левая круглая скобка 2 косинус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 7 косинус 2x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби .$

Найдем нули производной:

$система выражений новая строка 7 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений новая строка 7 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $система выражений новая строка 7 косинус 2x=0, новая строка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z , минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби , новая строка x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Функция может принимать наименьшее значение в точках $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдем их:

$y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = минус 7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 14 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11 =$
$= минус 7 корень из 3 плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 11 ,$ $y левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка =$
$= минус 7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 14 умножить на дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 11 =$
$= минус 7 корень из 3 плюс дробь: числитель: 49, знаменатель: 6 конец дроби Пи плюс 11 ,$

$y левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =7 тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус 3,5 Пи плюс 3,5 Пи плюс 11=18.$

Поскольку $y левая круглая скобка минус Пи /3 правая круглая скобка больше минус 14 плюс 24 плюс 11 = 21,$ наименьшее из найденных чисел равно 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

77495