№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задание 8 № 72801

 

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 48 и 12. Площадь поверхности параллелепипеда равна 3072. Найдите его диагональ.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Пусть длина третьего ребра, исходящего из той же вершины, равна x, тогда площадь поверхности параллелепипеда даётся формулой S=2(1 умножить на 2 плюс 1 умножить на x плюс 2 умножить на x) = 6x плюс 4. По условию площадь поверхности равна 16, тогда 6x плюс 4=16, откуда x=2.

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна квадратному корню из суммы квадратов его измерений, поэтому d= корень из { 1 в степени 2 плюс 2 в степени 2 плюс 2 в степени 2 }=3.

 

Ответ: 3.

 

Примечание о том, как не надо решать эту задачу.

Обозначим известные ребра за {{a}_{1}} и {{a}_{2}}, а неизвестное за {{a}_{3}}. Площадь поверхности параллелепипеда выражается как S=2({{a}_{1}}{{a}_{2}} плюс {{a}_{1}}{{a}_{3}} плюс {{a}_{2}}{{a}_{3}}). Выразим {{a}_{3}}:

{{a}_{3}}({{a}_{1}} плюс {{a}_{2}})= дробь, числитель — S, знаменатель — 2 минус {{a}_{1}}{{a}_{2}},

откуда неизвестное ребро

{{a}_{3}}= дробь, числитель — S/2 минус {{a}_{1}, знаменатель — {a _{2}}}{{{a}_{1}} плюс {{a}_{2}}}= дробь, числитель — 8 минус 2, знаменатель — 3 =2,

Диагональ параллелепипеда находится как

d= корень из { a_{1} в степени 2 плюс a_{2} в степени 2 плюс a_{3} в степени 2 }=3.

 

Ответ: 3.