РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Есть 16 монеток по 2 рубля и 29 монеток по 5 рублей.

а)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 175?

б)  Можно ли взять несколько из них так, чтобы сумма взятых монет была равна 176?

в)  Какое наименьшее количество монеток по 1 рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от 1 до 180 включительно?

ИЛИ

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше –⁠120.

Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а)  Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б)  Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?

в)  Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Решение. Общая сумма денег равна  $16 умножить на 2 плюс 29 умножить на 5 = 177$  рублей.

а)  Да, нужно взять все монеты, кроме одной двухрублевой.

б)  Нет, сумма невзятых монет тогда должна давать 1 рубль, что невозможно.

в)  Ясно, что требуется не менее $180 минус 177 = 3$  монет. Докажем, что этого хватит. Если нужно представить сумму до 149 рублей, то возьмем сначала сколько сможем пятирублевых и останется набрать от 0 до 4 рублей, что возможно. Например 1, 2, $2 плюс 1,$ $2 плюс 2.$ Если же нужно представить сумму S от 150 до 180 рублей, то выберем монеты общей суммой

$180 минус S меньше или равно 180 минус 150 = 30,$

что возможно, оставим их в кармане, а все остальные как раз дадут нужную сумму S.

Ответ: a)  да; б)  нет; в)  3.

ИЛИ

а)  Да. Например, на столе одна синяя карточка с цифрой 5 и пять красных карточек с цифрами –⁠6, – 4, –⁠2, 0 и 2 соответственно.

б)  Если на столе s синих карточек и $s плюс 90$ красных карточек, то наибольшее число, написанное на красной карточке, не меньше $2 левая круглая скобка s плюс 90 правая круглая скобка минус 120 = 2s плюс 60.$ Это число не может быть равно удвоенному количеству синих карточек.

в)  Пусть на синих карточках написано s чисел, наибольшее из которых равно a, а на красных карточках написано k чисел, наибольшее из которых равно b. Следовательно, выполнены условия:

$a больше или равно 5s минус 120,$

$b меньше или равно 2k минус 120,$

$a = k,$

$b = 2s,$

откуда получаем систему неравенств

$система выражений 5s минус 120 меньше или равно k, 2k минус 120 меньше или равно 2s конец системы . равносильно система выражений 5s минус 120 меньше или равно k, k минус 60 меньше или равно s. конец системы .$

Отсюда $5s минус 120 меньше или равно s плюс 60,$ то есть $s меньше или равно 45$ и $k меньше или равно 105.$ Таким образом, на столе может лежать не больше 150 карточек.

Покажем, что на столе может лежать ровно 150 карточек. Если на 45 синих карточках написаны числа –⁠115, –⁠110, ..., 105, а на 105 красных карточках написаны числа –⁠118, –⁠116, ..., 90, то условия задачи выполнены.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  150.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ключ