PDF-версии: 
i
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF точки M и K — середины боковых рёбер SA и SD соответственно.
а) Докажите, что прямые BC и MK параллельны.
б) Найдите объём пирамиды MABF, если AB = 12, а угол между плоскостью BMC и плоскостью основания пирамиды SABCDEF равен 30°.
ИЛИ
В правильном тетраэдре ABCD все рёбра равны 6. На рёбрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.
а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два многогранника, объёмы которых относятся как 5 : 4.
б) Найдите косинус угла между прямой AC и плоскостью CMK.
Таким образом, прямая BC перпендикулярна прямым MH и BF соответственно, а потому прямая BC перпендикулярна плоскости BMF. Плоскость основания пирамиды SABCDEF пересекается с плоскостью BMC по прямой BC, поэтому 
Следовательно,
то есть прямые MK и BD параллельны, а треугольники MAK и BAD подобны с коэффициентом 
площади треугольника BAD, а площади трапеции BMKD и треугольника MAK относятся как 5 : 4. Таким образом, объёмы многогранников CBMKD и CMAK относятся как 5 : 4.
