РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение. Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, их суммарная масса равна S₁, b овощей весят 1000 г, их суммарная масса равна S₂, c овощей легче 1000 г, а их суммарная масса равна S₃. Следовательно, условие записывается системой:

$система выражений a плюс b плюс c = 65, S_1 плюс S_2 плюс S_3 = 65 000, S_1 = 1024a, S_2 = 1000b, S_3 = 982c. конец системы .$

а)  В этом случае $a = c$ и $b = 65 минус 2a.$ Из системы имеем

$1024a плюс 1000 умножить на левая круглая скобка 65 минус 2a правая круглая скобка плюс 982a = 65 000,$

откуда $a = 0.$ Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма, есть, поскольку их средняя масса 1024 г.

б)  В этом случае $b = 13.$ Из системы имеем $13 плюс a плюс c = 65$ и

$1024a плюс 13 000 плюс 982c = 65 000,$

откуда $7a = 156.$ Но тогда a  — нецелое число. Противоречие.

в)  Пусть x  — масса самого легкого овоща. Следовательно, средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

$дробь: числитель: x плюс 999 умножить на левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: c конец дроби = 999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби .$

Это выражение должно быть не меньше 982. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 982,$ получаем $x больше или равно 999 минус 17c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c.

Из уравнения $1024a плюс 1000b плюс 982c = 65 000$ следует, что с кратно 4. Кроме того, c меньше 65. Максимальное c, при котором уравнение имеет натуральные решения,  — это $c = 36,$ тогда $a = 27,$ $b = 2.$ Число b может равняться и 0. Необходимо убедиться, что c не может равняться 64, 60, 56, 52, 48, 44 и 40. Подставляя эти значения c в уравнение, получим, что $128a плюс 125b$ может равняться 269, 760, 1251, 1742, 2233, 2724 и 3215. Покажем, что эти уравнения не имеют решений в целых неотрицательных числах. Действительно, пусть, например, $128a плюс 125b = 269.$ Это означает, что $3a минус 19 = 125 умножить на левая круглая скобка 2 минус a минус b правая круглая скобка ,$ то есть $3a минус 19$ кратно 125. Аналогично, $3a минус 10,$ $3a минус 1,$ $3a минус 117,$ $3a минус 108,$ $3a минус 99,$ $3a минус 90$ кратны 100. Это означает, что a в этих случаях равно как минимум 34, но тогда b, очевидно, отрицательно.

Следовательно, минимально возможное x получается из уравнения $x = 999 минус 17c,$ откуда $x = 387,$ иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше. Пример следует из решения: один овощ массой 387 г, тридцать пять овощей массой 999 г, два овоща массой 1000 г и двадцать семь овощей массой 1024 г.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  387.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в).	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	702518	а)  нет; б)  нет; в)  387.

Ключ