PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение. Преобразуем:
Исходное уравнение в системе координат xOa задает вертикальную прямую 
гиперболу 
ветви которой лежат во 2 и 4 четвертях, и окружность 
с центром в точке с координатами 
и 
то есть 
Найдем точку пересечения вертикальной прямой и окружности: 
то есть 
откуда 
и 
Заметим, что гипербола будет касаться окружности при и 
Изобразим получившиеся множества.
Из рисунка видно, что при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при окружность, правая ветвь гиперболы и вертикальная прямая пересекаются в одной точке, значит, горизонтальная прямая пересекает графики в двух точках; при 
горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; прямая 
является асимптотой гиперболы, но проходит пересекает вертикальную прямую и окружность; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при 
горизонтальная прямая проходит через точку пересечения гиперболы и окружности и точку пересечения вертикальной прямой и окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при 
горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую. Случаи двух решений обозначены на рисунке синим, случай трех решений — зеленым, случаи четырех решений — фиолетовым.
Таким образом, уравнение имеет два решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |