Ре­ше­ние. а)  Пусть хорда BK пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль AC в точке P, а сто­ро­ну AD  — в точке H. Впи­сан­ные углы BCA и BKA опи­ра­ют­ся на одну дугу, а по­то­му равны. Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых BC и AD се­ку­щей AC. Пусть тогда от­ку­да

Впи­сан­ные углы BAC и BMC опи­ра­ют­ся на одну дугу, а по­то­му равны. Углы BAC и ACD равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых BC и AD се­ку­щей AC. Пусть тогда от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, во впи­сан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке ACMK а по­то­му

то есть в этом че­ты­рех­уголь­ни­ке все углы пря­мые. Такой че­ты­рех­уголь­ник яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  В пря­мо­уголь­ни­ке про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но равны: По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABK по­лу­ча­ем:

Ана­ло­гич­но из тре­уголь­ни­ка ABC на­хо­дим:

Вы­чис­лим пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ACMK:

Ответ: б)