PDF-версии: 
На столе лежит N монет по 2 рубля и (800 – N) монет по 5 рублей (N — натуральное число от 1 до 799). Оказалось, что если взять любые 300 монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли N равняться 200?
б) Может ли N равняться 400?
в) Сколько различных значений может принимать число N?
Решение. а) Для начала проверим, будет ли выполняться неравенство, если взять максимальное число двоек в сумме 300 монет:
Далее заметим, что если в сумме 500 монет заменить двойку на пятерку, то сумма слева увеличится на 3, а сумма справа останется неизменной. Следовательно, раз при наибольшем количестве двоек неравенство верно, то и при любом другом наборе монет условие задачи будет выполнено. Значит, N может равняться 200.
б) Приведем пример набора из 300 монет, при котором условие не выполняется. Возьмем только двойки. В этом случае:
Значит, N не может равняться 400.
в) Рассмотрим два случая: N больше 0 и не больше 300 и N больше 300 и меньше 800. В обоих случаях будем брать наименьшую возможную сумму 300 монет, то есть брать наибольшее количество двоек. Запишем условие для первого случая:
При 
неравенство верно:
Далее заметим, что при уменьшении N на 1 сумма слева увеличится на 3, а справа — на 0,75. Следовательно, все N от 1 до 222 подходят.
Рассмотрим второй случай. В этом случае наименьшая сумма из 300 монет будет состоять только из двоек:
При 
неравенство верно:
Далее заметим, что при увеличении N на 1 сумма слева останется неизменной, а справа уменьшится. Следовательно, все N от 534 до 799 подходят. Таким образом, количество подходящих N равно 
Ответ: а) да; б) нет; в) 488.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |