РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно 2 решения.

Решение. Преобразуем уравнение:

$ax в степени 4 минус x в кубе плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x = ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка плюс ax левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x минус 1 = 0, ax минус 1 = 0, x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 1, a = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби , x в квадрате плюс a в квадрате = 1. конец совокупности .$ $ax в степени 4 минус x в кубе плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x = ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка плюс ax левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x минус 1 = 0, ax минус 1 = 0, x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 1, a = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби , x в квадрате плюс a в квадрате = 1. конец совокупности .$ $ax в степени 4 минус x в кубе плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка x = ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax в кубе минус x в квадрате плюс левая круглая скобка a в кубе минус a правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка плюс ax левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x минус 1 = 0, ax минус 1 = 0, x в квадрате плюс a в квадрате минус 1 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 1, a = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби , x в квадрате плюс a в квадрате = 1. конец совокупности .$

Исходное уравнение в системе координат xOa задает вертикальную прямую $x = 1,$ гиперболу $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ ветви которой лежат в 1 и 3 четвертях, и окружность $x в квадрате плюс a в квадрате = 1$ с центром в точке с координатами $левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка$ и радиусом 1. Найдем точку пересечения вертикальной прямой и гиперболы: $a = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби ,$ то есть $a = 1.$ Найдем точку пересечения вертикальной прямой и окружности: $1 в квадрате плюс a в квадрате = 1,$ то есть $a в квадрате = 0,$ откуда $a = 0.$ Изобразим получившиеся множества.

Из рисунка видно, что при $a меньше минус 1$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы и вертикальную прямую; при $a = минус 1$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и касается окружности; при $минус 1 меньше a меньше 0$ горизонтальная прямая пересекает левую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; прямая $a = 0$ является асимптотой гиперболы, но проходит через точку пересечения вертикальной прямой и окружности и еще одну точку на окружности; при $0 меньше a меньше 1$ горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы, вертикальную прямую и окружность; при $a = 1$ горизонтальная прямая касается окружности и проходит через точку пересечения вертикальной прямой и гиперболы; при $a больше 1$ горизонтальная прямая пересекает правую ветвь гиперболы и вертикальную прямую. Случаи двух решений обозначены на рисунке синим, случай трех решений  — зеленым, случаи четырех решений  — фиолетовым.

Таким образом, уравнение имеет два решения при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением значения $a= минус 1.$	3
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого исключением $a=0$ и/или $a=1$ и возможно включением значения $a= минус 1$ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию совокупности уравнений	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

№ п/п	№ задания	Ответ
1	701522	$a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ