PDF-версии: 
Окружность с центром O касается боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC и его высоты CH.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BO = 1 и AC = 6.
Решение. а) Окружность вписана в треугольник HBC, поэтому её центр O является точкой пересечения биссектрис этого треугольника. Следовательно, лучи CO и HO — биссектрисы углов HCB и BHC соответственно. Треугольники ABO и CBO равны по двум сторонам и углу между ними:
сторона BO — общая, 
Значит, 
Отрезок OH виден под одинаковыми углами из точек A и C, поэтому четырёхугольник ACOH — вписанный. Его вписанные углы AHC и AOC опираются на сторону AC, а значит, они равны: 
б) Окружность вписана в угол ABC, поэтому её центр O лежит на биссектрисе BO угла ABC. Продлим биссектрису BO до пересечения со стороной AC в точке M. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является высотой и медианой. Длина медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равна половине длины гипотенузы, а потому для треугольника AOC получаем: 
Таким образом, искомая площадь равна:
Ответ: б) 12.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |