i
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что AN = 2KM.
б) Пусть P — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB = 6, BC = 8.
и 
Следовательно,
то есть треугольники ABN и MNK — прямоугольные, катеты которых пропорциональны с коэффициентом 2. Такие треугольники подобны, тогда 
откуда 
Углы BKS и MKN равны как вертикальные, поэтому прямоугольные треугольники BKS и MKN равны по катету и острому углу, откуда 
Из прямоугольного треугольника ABN по теореме Пифагора находим 
Углы APS и MPN равны как вертикальные, углы BSK и KMN равны как соответствующие элементы равных треугольников, поэтому треугольники APS и NPM подобны, то есть
Применим теорему косинусов для треугольника ABP:
откуда
