РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 697903 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Использование основного логарифмического тождества

Неравенства. Неравенства рациональные относительно логарифмической функции

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 27, знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 5 9, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби .$

Решение. Неравенство определено, если $x больше 0,$ $x не равно q 27$ и $x не равно q 81.$ Используя свойства логарифма

$логарифм по основанию a b = дробь: числитель: логарифм по основанию c b, знаменатель: логарифм по основанию c a конец дроби ,$

$логарифм по основанию a b = дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию b a конец дроби ,$

$логарифм по основанию a дробь: числитель: b, знаменатель: c конец дроби = логарифм по основанию a b минус логарифм по основанию a c,$

на ОДЗ получим:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 27, знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 5 9, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 81 27 меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 27 9 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 9 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка 81 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 9 x минус логарифм по основанию 9 27 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 3 x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 27, знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 5 9, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 81 27 меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 27 9 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 9 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка 81 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 9 x минус логарифм по основанию 9 27 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 3 x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 27, знаменатель: логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: логарифм по основанию 5 9, знаменатель: логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 81 27 меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка \tfracx правая круглая скобка 27 9 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 81 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 9 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка 81 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 9 x минус логарифм по основанию 9 27 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию 3 x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 3 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби .$

Пусть $t = логарифм по основанию 3 x,$ тогда

$дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус t конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t минус 8 плюс 2 минус 3t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 минус t, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно q 3 конец системы . равносильно система выражений t меньше 4, t не равно 3. конец системы .$ $дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус t конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t минус 8 плюс 2 минус 3t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 3 минус t, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно q 3 конец системы . равносильно система выражений t меньше 4, t не равно 3. конец системы .$ $дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 минус t конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t минус 8 плюс 2 минус 3t плюс 9, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3 минус t, знаменатель: левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0, t не равно q 3 конец системы . равносильно система выражений t меньше 4, t не равно 3. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной, найдем:

$система выражений логарифм по основанию 3 x меньше 4, логарифм по основанию 3 x не равно q 3, x больше 0, x не равно q 27, x не равно q 81 конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x меньше 81, x не равно q 27 конец системы . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 27, 27 меньше x меньше 81. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; 27 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка 0; 27 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

697903

$левая круглая скобка 0; 27 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Использование основного логарифмического тождества

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697903	$левая круглая скобка 0; 27 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 27; 81 правая круглая скобка .$