РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 697419 Добавить в вариант

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2026

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Неравенства. Неравенства с логарифмами по переменному основанию, применение рационализации

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка x.$

Решение. Правая часть неравенства определена лишь при $x больше 0.$ При таких х основания логарифмов больше 1 и исходное неравенство равносильно следующим:

$0 меньше x в квадрате минус 5x плюс 7 меньше или равно x равносильно x в квадрате минус 5x плюс 7 меньше или равно x равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 6x плюс 7 меньше или равно 0 равносильно 3 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая квадратная скобка 3 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Приведём другое решение.

Найдем область определения неравенства:

$система выражений x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно q 1, x в квадрате минус 5x плюс 7 больше 0, x больше 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 0,75 больше 0, x больше 0 конец системы . равносильно x больше 0.$ $система выражений x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно q 1, x в квадрате минус 5x плюс 7 больше 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 0,75 больше 0, x больше 0 конец системы . равносильно x больше 0.$ $система выражений x плюс 1 больше 0, x плюс 1 не равно q 1, x в квадрате минус 5x плюс 7 больше 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 2,5 правая круглая скобка в квадрате плюс 0,75 больше 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно x больше 0.$

Применим метод рационализации: выражения $логарифм по основанию левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка минус h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ на ОДЗ имеют один знак. Получим:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка x равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 7 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 7 минус x правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 7 правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x минус 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка меньше или равно 0, x больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно 3 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

697419

$левая квадратная скобка 3 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$

Источник: Задания 15 ЕГЭ–2026

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств. Логарифмы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	697419	$левая квадратная скобка 3 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; 3 плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая квадратная скобка .$