Тип 19 № 697055 
Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки
i
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?
Решение. а) Если группа состоит из 5 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 13 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 24 учащихся могло быть 11 мальчиков.
б) Предположим, что мальчиков было 12 или больше. Следовательно, девочек было 12 или меньше. Театр посетило не более 5 мальчиков, поскольку если бы их было 6 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше 
что больше 
Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку 
но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.
В предыдущем пункте было показано, что в группе из 24 учащихся могло быть 11 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 11.
в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.
Пусть в группе m1 мальчиков, посетивших театр, m2 мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
Из условия: 
значит, 
Следовательно, 
поэтому доля девочек в группе:
Если группа состоит из 5 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 12 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна 
Ответ: а) да; б) 11; в)
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в). | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) 11;
в) 697055
а) да; б) 11;
в) 
PDF-версии: