РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 694818 Добавить в вариант

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

a)  Решите уравнение $косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка = 0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 7 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$

Решение. a)  Запишем исходное уравнение в виде

$косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус синус левая круглая скобка Пи плюс x правая круглая скобка = 0 равносильно минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс синус x = 0 равносильно минус синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = 0 равносильно$
$равносильно синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус 1 плюс 2 косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений синус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = 0, косинус дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = 2 Пи n, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m, x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l конец совокупности . n, m, l принадлежит Z .$

б)  Найдём корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 7 Пи ; минус 4 Пи правая квадратная скобка .$

Для $x = 2 Пи n,$ $n принадлежит Z$ имеем

$минус 7 Пи меньше или равно 2 Пи n \leqslant минус 4 Пи равносильно минус 7 меньше или равно 2 n \leqslant минус 4 равносильно минус 3,5 меньше или равно n \leqslant минус 2,$

откуда $n = минус 3$ или $n= минус 2,$ следовательно, $x= минус 6 Пи ,$ $x= минус 4 Пи .$ Для $x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m,$ $m принадлежит Z$ имеем

$минус 7 Пи меньше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m меньше или равно минус 4 Пи равносильно минус 7 меньше или равно дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 m меньше или равно минус 4 равносильно$
$равносильно минус 21 меньше или равно 2 плюс 12 m меньше или равно минус 12 равносильно минус 23 меньше или равно 12 m \leqslant минус 14 равносильно минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно m \leqslant минус дробь: числитель: 14, знаменатель: 12 конец дроби ,$

решений нет.

Для $x = минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l,$ $l принадлежит Z$ имеем

$минус 7 Пи \leqslant минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l меньше или равно минус 4 Пи равносильно минус 7 меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 l меньше или равно минус 4 равносильно минус 21 \leqslant минус 2 плюс 12 l меньше или равно минус 12 равносильно$
$равносильно минус 19 меньше или равно 12 l \leqslant минус 10 равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно l \leqslant минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби равносильно l= минус 1,$ $минус 7 Пи \leqslant минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l меньше или равно минус 4 Пи равносильно минус 7 меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 l меньше или равно минус 4 равносильно$
$равносильно минус 21 \leqslant минус 2 плюс 12 l меньше или равно минус 12 равносильно$
$равносильно минус 19 меньше или равно 12 l \leqslant минус 10 равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно l \leqslant минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби равносильно l= минус 1,$ $минус 7 Пи \leqslant минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l меньше или равно минус 4 Пи равносильно$
$равносильно минус 7 меньше или равно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 l меньше или равно минус 4 равносильно$
$равносильно минус 21 \leqslant минус 2 плюс 12 l меньше или равно минус 12 равносильно минус 19 меньше или равно 12 l \leqslant минус 10 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: 19, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно l \leqslant минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 12 конец дроби равносильно l= минус 1,$

следовательно, $x= минус дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а)  $левая фигурная скобка 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l : n, m, l принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 6 Пи ,$ $минус 4 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

694818

а)  $левая фигурная скобка 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l : n, m, l принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 6 Пи ,$ $минус 4 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	694818	а)  $левая фигурная скобка 2 Пи n; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи m; минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 4 Пи l : n, m, l принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б)  $минус 6 Пи ,$ $минус 4 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 14 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$