PDF-версии: 
В трапеции ABCD проведена биссектриса угла BAD, которая пересекает боковую сторону CD в точке M и делит эту сторону пополам.
а) Докажите, что треугольник ABM прямоугольный.
б) Найдите AM, если средняя линия трапеции равна 12,5, а 
Решение. а) Продлим прямую AM за точку M до пересечения с продолжением прямой BC за точку C в точке P. Углы PAD и BPA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BP и AD и секущей AP, тогда угол BAP равен углу BPA. Следовательно, треугольник BAP — равнобедренный.
Рассмотрим треугольники AMD и PMC. Стороны CM и MD равны, углы AMD и PMC равны как вертикальные, углы ADM и PCM равны как накрест лежащие при параллельных прямых BP и AD и секущей AP. Значит, эти треугольники равны, откуда 
Прямая BM является медианой равнобедренного треугольника BAP, а потому является и высотой. Таким образом, треугольник ABM — прямоугольный.
б) Проведем среднюю линию MN трапеции ABCD. Она также будет являться средней линией треугольника APB, следовательно, 
В прямоугольном треугольнике BMP по теореме Пифагора найдем:
Таким образом, 
Ответ: б) 24.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |